1 − |x| si |x| ≤ 1, 0 sinon.

(1)

Exerie

1

^:

Soit

X

ûne ^variable âléatoireâbsolumentôntinue ^de ^densité^de probabilité

f

^dénie ^par

f (x) =

1 − |x| si |x| ≤ 1, 0 sinon.

1.

^Traer ^le^graphe ^de

f

^et ^vérier^que

f

^est ^bien ^une ^densité ^de probabilité.

2 .

^Déterminer ^la^fontion ^de répartitionde

X

^.

3.

^Caluler ^l'espérane mathématique etla varianede

X

^.

4.

^On ^dénit^la ^valeur ^médiane

m

^omme^l'unique ^solution^de ^l'équation^:

F ( x ) = 1

2

et lemode

x M

^la ^valeur ^pour ^laquelle^la ^densité

f

^est ^maximale.

Déterminer

m

^et

x M

^.

5.

^Caluler ^laprobabilité des événements :

[− 1

2 ≤ X ≤ 1

4 ] ; [|x| > 1 2 ].

Exerie

2

^:

La taille des individus d'une ertaine population est une variable aléatoire normale de

moyenne

171

^m^et d'éart-type

4

^m.

1.

Ûn îndividu ^étant^hoisi âu^hazard êt

X

^étant^sa ^taille^en ^m.

Déterminerla probabilité des événements suivants :

a) [X < 160cm]

b ) [ X > 190 cm ]

c) [|X − 171| > 8]

(2)

2.

^On ^hoisit ^au ^hazard

n

^personnes ^dans ^la ^population ^et ^l'on ^note

M n

^la ^moyenne ^des

tailles des individus hoisis.

Ave

E[M ⁿ ] = 171

^m^,

V [M ⁿ ] = ^V ^[ _n ^X ^] = ¹⁶ _n

^.

a)

^En ^admettant ^que

M n

^suit ^une ^loi ^normale,^déterminer

α

^en ^fontion ^de

n

^tel^que ^:

P [| M n − 171| > α ] = 0 , 1 .

b)

^En ^utilisantl'inégalité de Bienaymé-Thebyhev.

Démontrer que pour tout

α

^,

α > 0

^, ^on^a ^:

1 − |x| si |x| ≤ 1, 0 sinon.

1

X

f

f (x) =

1 − |x| si |x| ≤ 1, 0 sinon.

1.

f

f

2 .

X

3.

X

4.

m

F ( x ) = 1

2

x M

f

m

x M

5.

[− 1

2 ≤ X ≤ 1

4 ] ; [|x| > 1 2 ].

2

171

4

1.

X

a) [X < 160cm]

b ) [ X > 190 cm ]

c) [|X − 171| > 8]

2.

n

M n

E[M n ] = 171

V [M n ] = V [ n X ] = 16 n

a)

M n

α

n

P [| M n − 171| > α ] = 0 , 1 .

b)

α

α > 0

n−→∞ lim P [|M n − 171| > α] = 0.

E[M ⁿ ] = 171

V [M ⁿ ] = ^V ^[ _n ^X ^] = ¹⁶ _n

n−→∞ lim P [|M ⁿ − 171| > α] = 0.