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1 − |x| si |x| ≤ 1, 0 sinon.

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Exerie

1

:

Soit

X

une variable aléatoireabsolumentontinue de densitéde probabilité

f

dénie par

f (x) =

1 − |x| si |x| ≤ 1, 0 sinon.

1.

Traer legraphe de

f

et vérierque

f

est bien une densité de probabilité.

2 .

Déterminer lafontion de répartitionde

X

.

3.

Caluler l'espérane mathématique etla varianede

X

.

4.

On dénitla valeur médiane

m

ommel'unique solutionde l'équation:

F ( x ) = 1

2

et lemode

x M

la valeur pour laquellela densité

f

est maximale.

Déterminer

m

et

x M

.

5.

Caluler laprobabilité des événements :

[− 1

2 ≤ X ≤ 1

4 ] ; [|x| > 1 2 ].

Exerie

2

:

La taille des individus d'une ertaine population est une variable aléatoire normale de

moyenne

171

met d'éart-type

4

m.

1.

Un individu étanthoisi auhazard et

X

étantsa tailleen m.

Déterminerla probabilité des événements suivants :

a) [X < 160cm]

b ) [ X > 190 cm ]

c) [|X − 171| > 8]

(2)

2.

On hoisit au hazard

n

personnes dans la population et l'on note

M n

la moyenne des

tailles des individus hoisis.

Ave

E[M n ] = 171

m,

V [M n ] = V [ n X ] = 16 n

.

a)

En admettant que

M n

suit une loi normale,déterminer

α

en fontion de

n

telque :

P [| M n − 171| > α ] = 0 , 1 .

b)

En utilisantl'inégalité de Bienaymé-Thebyhev.

Démontrer que pour tout

α

,

α > 0

, ona :

n−→∞ lim P [|M n − 171| > α] = 0.

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