A 444. Une donation-partage
Problème proposé par Raymond Bloch
Je possède trois champs de forme carrée dont les côtés ont pour dimensions en hectomètres : a, b et 1 avec a et b entiers distincts > 1.
Je prépare une donation-partage de ces champs au profit de mes enfants de sorte que chacun d'eux reçoive exactement des terres d'une surface égale à a*b hectares. Combien ai-je d'enfants ? Justifiez votre réponse.
Pour les plus courageux : les trois champs carrés ont pour côtés les entiers a, b et c. La donation-partage se fait sur la base d'une surface égale à a*b*c hectares par enfant. Combien y a-t-il d'enfants ?
Solution proposée par Michel Lafond.
Commençons par démontrer un lemme :
c divise donc c divise Posons
On a Donc
Par conséquent, si est solution de (1) et si alors est aussi solution de (1).
n étant fixé, disons qu’une solution de (1) est mineure si avec et majeure sinon.
Soit une solution mineure.
On a donc et . Donc
Ainsi, pour chaque solution mineure de (1) on peut abaisser strictement max (a, b, c). Comme on ne peut pas le faire indéfiniment, à chaque solution de (1) on peut [avec le même n] associer une autre solution de (1) qui est majeure, c’est-à-dire pour laquelle avec
[On garde les mêmes lettres]
On a donc (2) et avec On peut supposer dans (2) ce qui entraîne
Ou bien c = 1 et alors a = b = c = 1 d’où n = 3
Ou bien c > 1 et alors
Dans tous les cas CQFD
Passons maintenant au début du problème de Raymond Bloch qui se modélise en (3) n étant le nombre d’enfants. a, b entiers positifs.
On a Donc ce qui entraîne .
Avec le lemme précèdent, on en déduit que Raymond Bloch a trois enfants.
Remarque : On n’a eu besoin que de l’hypothèse
Si on liste par programme les solutions de a, b entiers positifs avec on trouve
On reconnait à part le couple (1, 1), les couples pour issus de la suite de Fibonnaci.
Si a, b, c, n sont des entiers strictement positifs tels que (1) alors
Il n’est pas très difficile de démontrer que ce sont les seules solutions à partir de la remarque suivante : Si (a, b) est solution de (3) alors (3a – b, a) est aussi solution de (3).
On peut d’ailleurs démontrer directement que pour tout entier k :
Étant pour une fois parmi les plus courageux, j’attaque (1) où a, b, c, n sont des entiers strictement positifs.
On a déjà vu que . Les possibilités sont donc
Démontrons que n = 2 est impossible.
Si on avait alors, parmi a, b, c on aurait 1 ou 3 nombres pairs.
- Un seul nombre pair est impossible car avec par exemple a pair et b, c impairs on aurait : (4) impliquerait d’où en divisant par 2 :
ce qui est impossible car
- Trois nombres pairs est également impossible, car si on avait a, b, c pairs on aurait entiers positifs.
(4) impliquerait donc ce qui est en contradiction avec le lemme du début qui affirme . CQFD
La réponse à la deuxième partie est donc
(1) Les deux cas sont effectivement possibles :
avec n = 1 avec n = 3
Poursuivons un peu en démontrant que le cas n = 1 se ramène au cas n = 3.
Partons de
En tenant compte des rôles symétriques de a, b, c on n’a modulo 3, que les 10 possibilités ci-dessous
a b c abc
0 0 0 0 0
0 0 1 1 0
0 0 2 1 0
0 1 1 2 0
0 1 2 2 0
0 2 2 2 0
1 1 1 0 1
1 1 2 0 2
1 2 2 0 1
2 2 2 0 2
On constate que implique Donc
Ainsi, les solutions de s’obtiennent à partir des solutions de dans lesquelles on multiplie les variables par 3.
C’est le cas dans l’exemple précédent :
avec n = 3 donne
avec n = 1 et (15, 87, 1299) = 3 (5, 29, 433)
Il reste donc à étudier les solutions du cas n = 3.
Partons de la solution
On a vu dans la démonstration du lemme, qu’après un nombre fini de transformations
on arrive sans changer n à une solution dans laquelle avec
Donc à toute solution (a, b, c) de (6) on associe une autre solution de (6) pour laquelle Mais alors, donc
De plus
Ceci entraîne
On tire donc a = 1. D’où
(7) devient (8) Si b était supérieur à 1 on aurait donc
De plus
Ceci entraînerait 1
ce qui est absurde.
Donc b = 1 et (8) devient ; d’où c = 1.
Conclusion : la seule solution de (7) est (a = 1, b = 1, c = 1)
Or, la transformation T peut aussi s’écrire :
Enfin, on remarque que T est involutive ; donc
EN RÉSUMÉ :
Les solutions de a, b, c entiers positifs, sont tous les triplets (a, b, c) obtenus à partir du triplet (1, 1, 1) après un nombre fini d’itérations des transformations ci-dessous
Ainsi la solution vue plus haut : (5, 29, 433) vient de
; Soit
