A444 ‒ Une donation- partage
Problème proposé par Raymond Bloch
Je possède trois champs de forme carrée dont les côtés ont pour dimensions en hectomètres : a, b et 1 avec a et b entiers distincts > 1. Je prépare une donation-partage de ces champs au profit de mes enfants de sorte que chacun d'eux reçoive exactement des terres d'une surface égale à a*b hectares. Combien ai-je d'enfants? Justifiez votre réponse.
Pour les plus courageux : les trois champs carrés ont pour côtés les entiers a, b et c. La donation-partage se fait sur la base d'une surface égale à a*b*c hectares par enfant. Combien y a-t-il d'enfants?
Solution par Patrick Gordon
La surface totale de ses trois champs est a² + b² + 1. Ce nombre doit être divisible par ab; le quotient est le nombre k d'enfants.
Un tableur donne au moins deux solutions :
a, b = 2, 5 a² + b² + 1 = 30 ab = 10
k = 3
a, b = 5, 13 a² + b² + 1 = 195 ab = 65
k = 3
Dans ces deux cas, le nombre d'enfants est 3.
Pour les plus courageux…
Le même tableur, où l'on fera varier c, donne les solutions suivantes (dans chaque cas, a et b sont interchangeables) :
a b c k
2 5 1 3
5 13 1 3
3 6 3 1
6 15 3 1
3 15 6 1
On retrouve les solutions pour c = 1. Pour c > 1, le nombre d'enfants est 1.
