A444. Une donation-partage ****
Problème proposé par Raymond Bloch
Je possède trois champs de forme carrée dont les côtés ont pour dimensions en hectomètres : a, b et 1 avec a et b entiers distincts > 1. Je prépare une donation-partage de ces champs au profit de mes enfants de sorte que chacun d'eux reçoive exactement des terres d'une surface égale à a*b hectares. Combien ai-je d'enfants? Justifiez votre réponse.
Pour les plus courageux: les trois champs carrés ont pour côtés les entiers a, b et c.
La donation-partage se fait sur la base d'une surface égale à a*b*c hectares par enfant.
Combien y a-t-il d'enfants ?
Solution proposée par Thérèse Eeveilleau
Q1
Il faut que a² + b² + 1 soit congru à a*b. (1) Ou encore , k étant le nombre d’enfants.
Il Existe, k entier positif tel que a²+b²+1 = kab OU
(a - kb/2)² + 1 + (1-k²/4) b² =0 Ceci implique que
(1-k²/4) b² < 0 donc que k>2.
Le nombre d’enfants est au moins égal à 3.
Si k=4, on aura a² + b² + 1 - 4ab = 0 soit 3 b² - (a-2b)² = 1.
Remarque :
Si k=1, on , on aura a² + b² +1 - ab =0 soit (a-b)² + 1 +ab = 0. IMPOSSIBLE.
Si k=2, on aura a² + b² + 1 - 2ab =0 soit (a-b)² + 1 =0. IMPOSSIBLE.
Solutions possibles
a=2 ; b=5 ; et on a 3 enfants qui auront chacun une surface de 10. Total : 2² + 5² +1 = 30 a=5; b=13 ; et on a 3 enfants qui auront chacun une surface de 65. Total : 5² + 13² +1 = 195 a=13; b=34 ; et on a 3 enfants qui auront chacun une surface de 442. Total : 13² + 34² +1 = 1326
a=34; b=89 ; et on a 3 enfants qui auront chacun une surface de 3026. Total : 13² + 34² +1 = 9078
Autres solutions
a = 89 ; b = 233 Total 62211 et chacun a 20737. Donc 3 enfants.
a = 233 et b = 610 Total 426389 et chacun a 142130. Donc 3 enfants a = 610 et b = 1597 Total 2922510 et chacun a 974170. Donc 3 enfants.
Solution : 3 enfants.
Rq : Nous trouvons un terme sur 2 de la suite de Fibonacci : 1, 1, 2, 3, 5 ,8 ,13 ,21 ,34 ,55 , 89…
On vérifie que si a et b vérifient la relation (1) alors il en sera de même pour les termes suivants de la suite construits avec la suite de Fibonacci (Un) ainsi :
a=un et b=un+2
Nous avons b = a +un+1 (a1,b1) avec
a1=b et b1 = un+4 = = un+3 + un+2 = un+2 + un+1 + un+2 = b + un+1 + b = b +(b –a) +b = 3b –a
Finalement a1 = b et b1 = 3b –a
Partant de (1) , nous vérifions facilement que a1² + b1² + 1 = 3 a1b1 car b² +(3b-a)² + 1 = 3b(3b-a)
Ceci nous fournit un moyen de construction des couples (a, b) pour trois enfants.
Le couple (1,2) est une solution.
Comme on a la condition a>1 et b>1, on peut prendre le couple suivant (2, 5) et ainsi de suite.qui seront solution avec a1² + b1² + 1 = 3 a1b1..
Q2
Il faut que a² + b² + c² soit congru à a*b*c.
Solutions possibles pour (a, b, c) :
(1,2,5), (1,5,13), (1,13,34), (1,34,89), (1,89,233), (1,233,610), (2,5,29), (2,29,169),
(2,169,985), (3,6,15), (3,15,39), (3,39,102), (3,102,267), (3,267,699), (5,13,194), (5,29,433), (6,15,87), (6,87,507), (15,39,582)
Chaque solution correspond à 3 enfants ou bien un seul enfant.
Solution : 3 enfants.
