Enoncé A444 (Diophante) Une donation-partage
Je possède trois champs de forme carrée dont les côtés ont pour dimensions en hectomètres : a,b et 1 avecaetbentiers distincts >1. Je prépare une donation-partage de ces champs au profit de mes enfants de sorte que chacun d’eux reçoive exactement des terres d’une surface égale à a∗ b hectares. Combien ai-je d’enfants ? Justifiez votre réponse.
Pour les plus courageux : les trois champs carrés ont pour côtés les entiers a, b et c. La donation-partage se fait sur la base d’une surface égale à a∗b∗c hectares par enfant. Combien y a-t-il d’enfants ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1
Il s’agit de satisfaire a2+b2+ 1 =kab.
Supposonsa > b; soitc=kb−a= (b2+1)/a; on a 0< c < b, et on observe queb2+ 1 =ac=c(kb−c) ; ainsi le couple (b, c) a la même propriété que le couple (a, b). On forme ainsi une suite décroissante d’entiers positifs, tant que deux termes consécutifs sont inégaux.
Cette “descente” va donc s’arrêter avec l’égalité de deux termes : a, b, c, d, . . . , p, q, r, s, t, u, v, w=v.
Alors u=kv−w= (k−1)w,t=ku−v= (k2−k+ 1)w, etc. Au facteur w près, chaque terme est un polynôme en k de degré lié à son rang. On peut l’expliciter au moyen des polynômes de Tchebychev Tn(k/2).
Si aetbavaient un diviseur commun >1, il diviseraitkab,a2 etb2, donc kab−a2−b2 = 1 ; ainsi w, qui divise tous les termes de la suite, vaut 1.
Alors 1 et k−1 sont deux termes consécutifs de la suite, et la condition s’écrit (k−1)2−k.1(k−1) + 1 + 1 = 0, d’oùk= 3 : il y a 3 enfants.
En remontant la suite avec k= 3, on obtient
1, 1, 2, 5, 13, 34, 89, . . ., où a etb sont deux termes consécutifs ; à partir de 1 = F−1, on reconnaît les termes F2n−1 de rang impair de la suite de Fibonacci.
Question 2
La condition est maintenanta2+b2+c2 =kabc.
La première question apporte les solutions {a, b, c} = {1, F2n−1, F2n+1} avec k= 3. Y en a-t-il d’autres ?
Si deux des nombres a, b, c ont un diviseur commund >1,d2 divisekabc et le carré du troisième ; doncddivise les trois nombres et
(a/d)2+ (b/d)2+ (c/d)2 =kd(a/d)(b/d)(c/d) ; on est ramené au cas de 3 entiers premiers entre eux 2 à 2, aveckdenfants.
Par exemple avec d= 3,{a, b, c}={15,6,3} donnekd= 3,k= 1 (enfant unique) puisquea2+b2+c2= 270 =abc. Mais il n’y a plus là de partage.
a, b, cétant supposés premiers entre eux, aucun n’est divisible par 3 puisque 3 ne peut diviser la somme des carrés des deux autres. Chacun des carrés ayant pour reste 1 modulo 3, 3 divise la somme des carrés sans diviserabc et divise k. Ainsi k/3 est entier ; on a vu qu’il existe des solutions avec k= 3 ; S’il y en a avec k >3,k≥6.
Si par exemplea > b > c,a diviseb2+c2=a(kbc−a) =ae.
On ne peut pas avoire≥aavec k≥6, car cela entraînerait 4b2>2b2+ 2c2 =b2+c2+ae≥a2+b2+c2≥6abc >6b2.
Ainsi e < a, et b2 +c2 = ae = e(kbc−e) ; le trio {e, b, c} a la même propriété que{a, b, c}, avec une somme des termes strictement inférieure ; poursuivant ce processus, on finit par arriver à un trio contenant 1, ce qui ramène à la première question et prouvek= 3.
A nouveau il y a 3 enfants.
Il existe des trios {a, b, c} sans terme 1, à commencer par ceux donnant e= 1, aveca= 3bc−1 ; ils sont de la forme{3F2n2 + 2, F2n+1, F2n−1}, par exemple{29,5,2}.
Mais à partir de tout trio solution, pris pour (b, c, e), on en fabrique un autre{a, b, c}para= 3bc−e. Ainsi{29,5,2}conduit aux trios{169,29,2}
et{433,29,5}.
