A444. Une donation-partage
Q1
L’´egalit´e(b−a)2=a2+b2−2abmontre qu’on a une solution de 1 +a2+b2=kab(k = nombre d’enfants)
si(b−a)2+ 1 = (k−2)ab
Pour respecter la parit´e, k doit ˆetre impair.
Avec k = 3, on a 2 solutions faciles (mais incompatibles avec les donn´ees) : 12+ 12+ 12= 3∗1et
12+ 12+ 22= 3∗2
Si 1 +a2+b2 = 3ab, alors 1 +b2+ (3b−a)2 = 3b(3b−a) permet de trouver les solutions suivantes (et acceptables) par r´ecurrence :
1|2|5 1|5|13 1|13|34 1|34|89 etc
La valeur k = 5 est exclue parce que n2+ 1n’est jamais congru `a 3.
Les valeurs suivantes de k semblent aussi exclues (mais pour d’autres raisons).
Q2
Lemme :
Sia2+b2+c2= 3abc, la valeurd= 3bc−aest telle queb2+c2+d2= 3bcd.
D’o`u des solutions comme : 2|5|29
2|29|169 5|13|194 5|194|2897 5|29|473 13|34|1325
En outre, toute solution d´ej`a trouv´ee peut ˆetre transform´ee en une solution avec k = 1, en multiplianta, bet cpar 3 :
12+ 22+ 52= 3∗1∗2∗3 ⇒ 32+ 62+ 152= 1∗3∗6∗15
1
