Problème proposé par Raymond Bloch
Je possède trois champs de forme carrée dont les côtés ont pour dimensions en hectomètres : a,b et 1 avec a et b entiers distincts > 1. Je prépare une donation-partage de ces champs au profit de mes enfants de sorte que chacun d'eux reçoive exactement des terres d'une surface égale à a*b hectares.
Combien ai-je d'enfants? Justifiez votre réponse.
Pour les plus courageux: les trois champs carrés ont pour côtés les entiers a,b et c.La donation- partage se fait sur la base d'une surface égale à a*b*c hectares par enfant. Combien y a-t-il d'enfants?
Rappelons en préambule trois propriétés caractéristiques des nombres m de la suite S des diviseurs de k2+1 pour tout k : 2, 5, 10, 13, 17, 25, 26, 29, 34, 37, 41, ... (OEIS A008784)
Ils s’expriment d’une façon et d’une seule (à la permutation près des termes) comme somme de deux carrés premiers entre eux : m=p2+q2 ; -1 est un résidu quadratique modulo m ; l’équation de Fermat Pell : p2=mq2-1 est soluble.
Si n est le nombre d’enfants, nous avons a2+b2+1=nab ; remarquons d’abord qu’on ne peut avoir n=1 ou 2, donc n≥3
Puisque b2+1=0 (mod a) et a2+1=0 (mod a), -1 est un résidu quadratique modulo a et b, qui appartiennent à la suite S.
Comme a2+b2+1=nab, (a-nb/2)2=(n2-4)(b/2)2-1 : si nous posons a-nb/2=p, b/2=q, nous voyons que m=n2-4 appartient à la suite S. Or n2-4=(n-2)(n+2) les deux facteurs ayant des facteurs impairs distincts. Si n=4 m=12 n’appartient pas à S ; si n≥5 m ne peut être somme de deux carrés que si les parties impaires de n-2 et n+2 sont aussi sommes de deux carrés ; mais alors m serait somme de deux carrés d’au moins deux façons différentes. La seule possibilité est donc n=3, puisque 32-4=5 appartient à S.
Il existe une infinité de solutions pour (a, b), la première étant (2, 5) : 22+52+1=3*2*5 La solution générale est composée de deux termes consécutifs de la suite : 2, 5, 13, 34, 89, ... soit an+1=3an-an-1.
Pour le cas où le troisième champ est un carré de coté c, a2=-b2 (mod c) donc -1 est résidu quadratique modulo c, et également modulo a et b.
On peut alors trouver que (2, 5, 29) répond à la question, toujours avec n=3 : 22+52+292=3*2*5*29=870
