A444. Une donation-partage
Problème proposé par Raymond Bloch
Je possède trois champs de forme carrée dont les côtés ont pour dimensions en hectomètres : a, b et 1 avec a et b entiers distincts > 1. Je prépare une donation-partage de ces champs au profit de mes enfants de sorte que chacun d'eux reçoive exactement des terres d'une surface égale à a*b hectares. Combien ai-je d'enfants? Justifiez votre réponse.
Pour les plus courageux: les trois champs carrés ont pour côtés les entiers a, b et c. La donation-partage se fait sur la base d'une surface égale à a*b*c hectares par enfant. Combien y a-t-il d'enfants?
Solution de Paul Voyer k est le nombre d'enfants.
1+a²+b² = k*ab.
Première remarque : 1+a²+b² n'est jamais multiple de 4, donc k non plus.
1+(b-a)² = (k-2)ab non plus, (k-2) n'est pas multiple de 4 et k ≥ 3.
k est impair ≥ 3 .
1+a²+b² = k*ab, si on résout en a :
2
4
² 4
² 2
² 1 4
²
²
kb k b b kb k b a
a est entier si (k²-4)b² = c²+4 c²+4 n'est jamais multiple de 3.
k²-4 ne doit pas l'être non plus, donc k doit l'être.
k = doit être un multiple impair de 3.
Le résultat est un sous-ensemble de http://oeis.org/A002559 où le premier terme vaut 1, voir Q2.
Seule la valeur k = 3 convient.
k = 3
La plus petite configuration est 1*1+2*2+5*5 = 30 = 3*2*5 1+a²-3ab+b² =0
2 4
² 5 3 2
² 1 4
² 9
3
b b b b b
a
a est entier si 5b²-4 est carré, 5 4
²
m b
, carré pour m = 4, 11, 29, …
m a b
4 1 2
11 2 5
29 5 13
76 13 34
199 34 89
521 89 233
On remarque que : an+1 = bn
bn+1 = (bn²+1)/an
Pour les plus courageux
a²+b²+c²= kabc
Les seules valeurs possibles pour k sont : k = 1 http://oeis.org/A086326 k = 3 http://oeis.org/A002559
