A444. Une donation-partage ****
Problème proposé par Raymond Bloch
Je possède trois champs de forme carrée dont les côtés ont pour
dimensions en hectomètres : a, b et 1 avec a et b entiers distincts > 1.
Je prépare une donation-partage de ces champs au profit de mes enfants de sorte que chacun d'eux reçoive exactement des terres d'une surface égale à a*b hectares. Combien ai-je d'enfants? Justifiez votre réponse.
Pour les plus courageux : les trois champs carrés ont pour côtés les entiers a, b et c. La donation-partage se fait sur la base d'une surface égale à a*b*c hectares par enfant. Combien y a-t-il d'enfants?
Solution proposée par jean Nicot
Q1- Avec N enfants, on a a²+b²+1 = Nab
Si N =2, on aurait (a-b)²+1 = 0 impossible, donc N > 2.
On peut aussi appeler a le plus grand des carrés et a > b > 1
a²- Nab +b²+1 = 0 soit a =( 𝑁𝑏 + √𝑁²𝑏2− 4𝑏2− 4 )/2
Si N=3 on a pour b=1 a=2, pour b=2 a=5, pour b=5 a=13, pour b=13 a= 34, pour b=34 a= 89, pour b=89 a=233,…
La suite de ces valeurs entières correspond à la suite un+2 = 3un+1 - un avec u0=1 et u1=2.
Elles vérifient aussi la relation un+2 un = 1+u²n+1 (b= un+1 et un+2 un=produit des 2 racinesa)
Si N>3, le plus simple est l’écriture d’un programme avec deux boucles imbriquées sur a et b. Il ne trouve aucune solution autre que N=3
Le partage s’effectue entre 3 enfants
Q2 - avec a>b>c>1 avec c>1 pour éviter de retrouver la question précédente.
a²+b²+c²= Nabc
Le même programme avec 3 boucles sur a, b et c ne trouve pas de solution autre que N=3 pour c=2 il existe des solutions avec N= 3 : b=5 et a=29 ; b=29 et a=169 ; b=169 et a= 985 ; …
Pour c=5 il existe des solutions avec N=3 ; b=13 et a=194 ; b=29 et a=433 ; b=194 et a= 2897 ; b=433 et a=6466,..
Pour c=13 il existe des solutions avec N=3 ; b=34 et a=1325 ; b=194 et a=7561 ;…
Pour c=29, c=34 et c=89, il existe encore des solutions, toujours avec N=3 Le partage s’effectue aussi entre 3 enfants.
