A444 ‒ Une donation- partage
Problème proposé par Raymond Bloch
Je possède trois champs de forme carrée dont les côtés ont pour dimensions en hectomètres : a, b et 1 avec a et b entiers distincts > 1. Je prépare une donation-partage de ces champs au profit de mes enfants de sorte que chacun d'eux reçoive exactement des terres d'une surface égale à a*b hectares. Combien ai-je d'enfants? Justifiez votre réponse.
Pour les plus courageux : les trois champs carrés ont pour côtés les entiers a, b et c. La donation-partage se fait sur la base d'une surface égale à a*b*c hectares par enfant. Combien y a-t-il d'enfants?
Solution proposée par Daniel Collignon
L'équation diophantienne a² + b² + c² = n*abc n'admet que pour solutions n=1 ou 3.
Il s'agit d'un cas particulier de l'équation d'Hurwitz, nommé équation de Markoff.
Pour répondre à l'énoncé, on n'est pas obligé de la résoudre intégralement.
Si (a,b,c) est solution, alors on remarque que (a',b,c) l'est aussi, avec a'= nbc‒a.
Ayant écarté le cas où l'un parmi a, b ou c est nul, conduisant à a = b = c =0, et compte tenu de la symétrie entre a, b et c, supposons a' ≥ a ≥ b ≥ c > 0
Alors le polynôme P(X) = X² ‒ nbcX + b² + c² vérifie P(a) = P(a') = 0.
D'où P(b) ≥ 0, se traduisant par 2b² + c² ‒ nb²c ≥ 0 Ainsi b²*(3 ‒ nc) ≥ 0
D'où n ≤ 3
Peut-on avoir n=2 ? Non, 2 cas à considérer selon le nombre de pairs (P) et impairs (I) : P,P,P : (a/2)² + (b/2)² + (c/2)² = (2n)(a/2)(b/2)(c/2) avec 2n = 4 : (a/2, b/2, c/2) serait solution de X² + Y² + Z² = 4XYZ, impossible
I,I,P : a² + b² + c² = 2 (mod 4) alors que 2abc=0 (mod 4)
Les solutions forment une forêt générée à partir de la solution (1,1,1) : (1,1,2),(1,2,5),...
Référence : l'excellente réponse que m'avait faite Pierre Bornsztein en 1999 sur https://groups.google.com/d/msg/fr.sci.maths/JpAgJe8ZSLk/grWLxAYoq4wJ
