Une d´emonstration de l’in´egalit´e de Poincar´e
Ivan Nourdin 22 f´evrier 2001
Mots-cl´es: compacit´e, connexit´e.
Nous cherchons `a d´emontrer le :
Th´eor`eme 1 (In´egalit´e de Poincar´e) Soit Ωun ouvert de Rn que l’on sup- pose born´e, connexe et de fronti`ere suffisamment r´eguli`ere. Alors il existe une constanteCΩ > 0telle que :
(∗) kukL2(Ω) ≤CΩk∇ukL2(Ω)
pour toute fonctionu ∈ H01(Ω).
Pour cela, nous allons utiliser le :
Th´eor`eme 2 (de Rellich) Soit Ω un ouvert de Rn que l’on suppose born´e et de fronti`ere suffisamment r´eguli`ere. Alors l’injection :
H1(Ω) → L2(Ω) est compacte.
Faisons donc la d´emonstration du th´eor`eme 1. Par l’absurde, supposons que l’in´egalit´e de Poincar´e (*) ne soit pas v´erifi´ee. On peut donc consid´erer une suite(un)deH01(Ω)v´erifiant, pour toutn, les conditions :
(1) kunkL2(Ω) = 1,
(2) kunkL2(Ω) ≥ nk∇unkL2(Ω).
De (2), on tire :
k∇unkL2(Ω) ≤ 1 n 1
ce qui prouve d’une part que∇un → 0dansL2(Ω)et d’autre part que la suite(un)est born´ee dansH1(Ω). Grˆace au th´eor`eme de Rellich, on peut supposer (modulo une extraction) que la suite (un) converge dans L2(Ω) vers une fonction ude L2(Ω). En regardant tout ceci au sens des distribu- tions, il vientun → udansD0(Ω)et∇un → 0dansD0(Ω). Comme on a en outre∇un → ∇u dansD0(Ω), on obtient∇u = 0dansD0(Ω). Ω
´etant suppos´e connexe, on en d´eduit queu est constante puis nulle (vu que u∈ H01(Ω)). Ceci contredit (1) !
Remarque. La d´emonstration propos´ee ici est tr`es simple. Pourtant, il faut ˆetre conscient qu’elle utilise de mani`ere fondamentale le th´eor`eme 2 de Rel- lich dont la preuve est plutˆot compliqu´ee !
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