Une preuve combinatoire du th´eor`eme de Wilson.
par Bruno Deschamps Professeur `a l’Universit´e du Maine
R´esum´e.—Nous donnons dans ce texte une preuve inattendue du th´eor`eme de Wilson utilisant le th´eor`eme de Sylow.
Un tr`es c´el`ebre th´eor`eme de John Wilson dat´e de 1759 affirme que sipest un nombre premier alors il y a la congruence suivante1:
(p−1)!≡ −1 mod(p)
Les preuves classiques de ce th´eor`eme sont simples et restent abordables avec un mat´eriel ´el´ementaire de math´ematique. En pr´eparant un examen de th´eorie des groupes pour mes ´etudiants de licence je suis tomb´e presque malgr´e moi sur une preuve de ce r´esultat utilisant la th´eorie de Sylow. Ne l’ayant jamais vu
´ecrite et la trouvant assez inattendue, je me propose de vous la pr´esenter ici.
Commen¸cons par faire quelques rappels de th´eorie de Sylow afin de rendre plus compr´ehensible l’approche au lecteur non aguerri `a la th´eorie des groupes : ´etant donn´e un groupeGet un nombre premierpon appellep-sous-groupe de Gtout sous-groupe d’ordre une puissance dep. Unp-sous-groupe de Sylow de Gest alors un p-sous-groupe maximal. La th´eorie de Sylow de base consiste en les deux th´eor`emes suivants :
Th´eor`eme 1.—(dit premier th´eor`eme de Sylow)SoitGun groupe d’ordrepns avecppremier,n≥1et(s, p) = 1. Pour tout entierr∈ {1,· · ·, n} il existe un p-sous-groupe de Gd’ordre pr.
Th´eor`eme 2.— (dit deuxi`eme th´eor`eme de Sylow) Soit Gun groupe d’ordre divisible par le nombre premierp.
a) Toutp-sous-groupe deGest contenu dans unp-sous-groupe de Sylow.
b) Lesp-sous-groupe de Sylow de Gsont conjugu´es.
c) Le nombre desp-sous-groupe sde Sylow deGest congru `a1modulopet divise l’ordre deG.
On remarquera que ces deux th´eor`emes impliquent, avec les notations du premier, que les p-sous-groupes de Sylow sont exactement les p-sous-groupes de G d’ordre pn (certains auteurs prennent d’ailleurs cette propri´et´e comme d´efinition). Sur ce sujet, nous renvoyons le lecteur `a l’excellent ouvrage de Josette Calais ”El´ements de th´eorie des groupes” publi´e aux PUF o`u sont
1Ce r´esultat ´etait en fait d´ej`a connu de Leibniz qui ne l’avait pas publi´e
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pr´esent´ees les bases de la th´eorie ´el´ementaire des groupes et en particulier les th´eor`emes de Sylow.
On consid`ere donc un nombre premierpet Sp lep-i`eme groupe sym´etrique.
La preuve dont il est question s’obtient en d´enombrant les p-sous-groupes de Sylow deSp. On y arrive en remarquant les deux propri´et´es suivantes : Lemme 1.—Dans Sp les ´el´ements d’ordre psont exactement les p-cycles. En particulier, il y a exactement(p−1)! ´el´ements d’ordrepdansSp.
Preuve : Les p-cycles sont bien sur des ´el´ements d’ordre p dans Sp (cette propri´et´e ´etant ind´ependante du fait quepsoit premier). Soit maintenant une permutationσ∈Sp d’ordrepet
σ=γ1◦ · · · ◦γn
sa d´ecomposition canonique en produit de cycles disjoints. On sait que l’ordre o(σ) deσest ´egal au ppcm(o(γ1),· · · , o(γn)). Commepest premier on en d´eduit que pour touti= 1,· · · , non a o(γi) =p(le cas o(γi) = 1 est impossible car alorsγiserait l’identit´e ce qui est exclu). Par ailleurs, puisque les cyclesγisont de supports disjoints de longueurp, on a obligatoirementn= 1 et doncσ=γ1 est bien unp-cycle.
On peut ´ecrire tout p-cycle deSp sous la forme (p s(1) · · · s(p−1)) (avec s∈Sp−1) et cette description ´etant visiblement biunivoque, on en d´eduit qu’il y en a donc exactement (p−1)!.
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Lemme 2.— Dans Sp les p-sous-groupes de Sylow sont exactement les sous- groupes d’ordre p (ils sont donc tous cycliques). En particulier le nombre de p-sous-groupes de Sylow dansSp vaut np= (p−2)!.
Preuve : Commepest premier, la valuationp-adique dep! vaut 1 (i.e. p! =pm avecm∈Npremier `ap). On en d´eduit que lesp-sous-groupes de Sylow de Sp
sont les sous-groupes d’ordrep(ils sont donc tous cycliques isomorphes `aZ/pZ).
Maintenant tout ´el´ement d’ordrepdeSp vit dans unp-sous-groupe de Sylow.
R´eciproquement, commepest premier et qu’unp-sous-groupe de Sylow deSp
est isomorphe `aZ/pZ, il existe exactementp−1 ´el´ements d’ordrepdans chaque p-sous-groupe de Sylow de Sp (puisque dans Z/pZ tous les ´el´ements non nuls sont g´en´erateurs). Ainsi, il y anp= (p−1)!
p−1 = (p−2)!p-sous-groupes de Sylow dansSp.
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Preuve du th´eor`eme de Wilson : le th´eor`eme de Sylow affirme en particulier quenp≡1 mod(p), on a donc (p−2)!≡1 mod(p) ce qui donne, en multipliant par (p−1), que (p−1)!≡ −1 mod(p).
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