LM325- Introduction `a la th´eorie des groupes

(1)

LM325- Introduction ` a la th´eorie des groupes

Odile Lecacheux

5 novembre 2008

(2)

Table des mati` eres

1 D´efinitions, sous-groupes, groupes quotients 3

1.1 Premi`eres d´efinitions. . . 3

1.2 Sous-groupes . . . 5

1.3 Morphismes de groupes . . . 6

1.4 Classes modulo un sous-groupe, Th´eor`eme de Lagrange. . . 7

1.5 Sous-groupes distingu´es (ou normaux) . . . 9

1.6 Produit direct de groupes . . . 10

1.7 Produit semi-direct. . . 11

1.8 Th´eor`emes d’isomorphismes. . . 11

1.9 Groupes cycliques et monog`enes. . . 13

2 Action de groupe, Groupe op´erant sur un ensemble 15 2.1 D´efinitions . . . 15

2.2 Formule des classes . . . 17

2.3 Applications . . . 17

2.3.1 Normalisateur d’un sous-groupe . . . 17

2.3.2 Action d’un p−groupe. Centre d’un p−groupe . . . 17

2.3.3 Décomposition d’une permutation en produit de cycles à supports disjoints 18 3 Théorème de Sylow 19 3.1 Définition d’un p-sous-groupe de Sylow . . . 19

3.2 Premier th´eor`eme . . . 19

3.3 Deuxième théorème . . . 20

3.4 Exemples . . . 22

4 Groupe symétrique et alterné 23 4.1 Décomposition canonique . . . 24

4.2 Signature d’une permutation . . . 25

4.3 Parties g´en´eratrices de S_n . . . 27

4.4 Le sous-groupe altern´e A_n . . . 27

4.4.1 Simplicit´e de An si n ≥5 . . . 28

4.5 Le centre de S_n et de A_n . . . 29

5 Groupes ab´eliens finis 31 5.1 D´efinitions . . . 31

5.2 Théorème de structure des groupes abéliens finis. . . 32

5.2.1 Facteurs invariants . . . 34

(3)

5.3 Sous-groupe multiplicatif fini d’un corps . . . 34

6 Représentations linéaires de groupes finis 35 6.1 Rappels et compléments d’algèbre linéaire. . . 35

6.1.1 Le groupeGl(V) . . . 35

6.1.2 Hom(V,W) et End(V) . . . 35

6.1.3 Trace . . . 36

6.2 Repr´esentations lin´eaires de groupes finis . . . 36

6.2.1 D´efinitions . . . 36

6.2.2 G−morphismes et repr´esentations isomorphes. . . 37

6.2.3 Sous-espaces stables et sous-repr´esentations . . . 38

6.3 D´ecomposition d’une repr´esentation . . . 38

6.3.1 Th´eor`eme de Maschke . . . 38

6.3.2 Lemme de Schur . . . 39

6.4 Caract`eres d’une repr´esentation . . . 39

6.4.1 Othogonalit´e des caract`eres. . . 40

6.4.2 Base des fonctions centrales . . . 41

6.5 M´ethodes pour construire des repr´esentations . . . 43

6.5.1 Sous-groupes . . . 43

6.5.2 Permutations . . . 43

6.5.3 Somme et produit tensoriel . . . 44

6.6 Tables des caract`eres . . . 44

6.6.1 Le groupeA₄ . . . 44

6.6.2 Le groupeS4 . . . 45

(4)

Chapitre 1

D´ efinitions, sous-groupes, groupes quotients

1.1 Premi` eres d´ efinitions.

D´efinition 1.1 Un ensemble G est muni d’une loi de composition s’il existe une application (not´ee ◦ )

◦:G×G→G.

Définition 1.2 Soit Gun ensemble non vide muni d’une loi de composition. L’ensemble G est un appelé groupe si les propriétés suivantes sont vérifiées :

(i) la loi est associative : pour tous x, y, z de G (x◦y)◦z =x◦(y◦z) (ii) G possède un élément neutre e: ∀a∈G a◦e=e◦a=a.

(iii) Tout a∈G poss`ede un inverse : il existe b∈G tel que a◦b=b◦a =e.

Définition 1.3 Si la loi vérifie x◦y =y◦x (loi commutative) pour tous x, y de G le groupe est dit abélien. Dans ce cas la loi est souvent notée +.

Remarque 1.4 On peut utiliser d’autres symboles pour la loi :◦,·,∗,+, ...Souvent on supprime

◦ entre les deux éléments, on écrit ab pour a◦b.

Remarque 1.5 Le neutre est noté aussi 1 ou bien 0 si la loi est commutative. L’inverse de a est noté a⁻¹ ( ou −a si la loi est notée +,¹_a si la loi est commutative).

Exemple 1.6 Z muni de l’addition, R^∗ =R− {0} muni de la multiplication, C^∗ =C− {0}

muni de la multiplication des nombres complexes, l’élément neutre est alors 1. U ={z ∈ C^∗,|z|= 1}. U_n={z ∈C^∗, zⁿ= 1}, groupe des racines nième de l’unité de C

L’ensemble S_X des bijections d’une ensemble X dans lui même, la loi est la composition des applications et l’élément neutre l’application x→x. Si X est fini et a n éléments S_X est noté S_n groupe des permutations de n éléments.

L’ensemble des matrices n × n, inversibles, à coefficients dans un corps K est un groupe (noté GL_n(K)) pour le produit des matrices. groupe des isomètries du plan, groupe des isomètries du plan qui laissent fixe une figure (triangle, carré..),

U₂ ={−1,1},±1∈R groupe à deux éléments.

(5)

Proposition 1.7 L’´el´ement neutre est unique.

Sie et e⁰ sont deux éléments neutres alors par définition on a e◦e⁰ =e⁰◦e=e=e⁰. Proposition 1.8 L’inverse d’un élément est unique.

Sib etb⁰ sont deux inverses dea alors par d´efinition

b = b◦e=b◦(a◦b⁰)

= (b◦a)◦b⁰ =b⁰ Exercice 1.9 Montrer que (a◦b)⁻¹ =b⁻¹◦a^−1.

Proposition 1.10 Si x◦u=x◦v alors u=v.

Si a et b∈G il existe un unique ´el´ement x∈G (y ∈G) tel que ax=b (ya=b).

Six◦u=x◦v on multiplie à gauche par x⁻¹, on a alors u=v. Pour la seconde propriété, on vérifie que x=a⁻¹◦b convient. Il est unique car si a◦x=a◦x⁰, alors x=x⁰.

Une autre formulation de cette proposition est la suivante : Les deux applicationsg_a et d_a sont bijectives

g_a:x7→ax d_a::x7→xa.

Si l’ensembleGest fini ( on dit que le groupe est fini) et anéléments a₁, a₂...a_nil est commode d’écrire la ”table de multiplication” de G

a₁ ... a_n a₁ a₁◦a₁ a₁◦a_n

. . .

an an◦a1 an◦an

Comme ga et da sont des bijections sur chaque ligne et chaque colonne du tableau tous les

´el´ements sont distincts.

Exercice 1.11 Si G est un ensemble muni d’une loi associative, si de plus les applications g_a et d_a sont des bijections alors G est un groupe pour cette loi.

D´efinition 1.12 . On appelle ordre d’un groupe son cardinal. On le note alors |G| (ou bien

#G).

(6)

1.2 Sous-groupes

Notation 1.13 Si H etK sont deux sous- ensembles d’un groupeG,on note HK l’ensemble {h◦k, h∈H, k ∈K}. Lorsque H est réduit à l’élément h on note hK au lieu de {h}K. Si S est une partie d’un groupe G, on note S⁻¹ l’ensemble des inverses des éléments de S.

Définition 1.14 On appelle sous-groupe deGtoute partieHnon vide, stable pour◦(i.e.HH ⊆ H) et contenant l’inverse de ses éléments ( i.e. H⁻¹ ⊆H).

Il résulte de cette définition que six∈H, e=xx⁻¹ est élément de H,etH est un groupe pour la loi de composition de Grestreinte à H.

Notation 1.15 Si x∈G on note x⁰ =e, si n∈N on d´efinit par r´ecurrence xⁿ=x◦xⁿ⁻¹, si n <0 on note xⁿ= (x⁻¹)⁽⁻ⁿ⁾; {xⁿ, n ∈Z}

D´efinition 1.16 Soit S une partie de G, on note < S > le plus petit sous-groupe de G contenant S.

Proposition 1.17 – Toute intersection de sous-groupes est un sous-groupe.

– Soit S une partie de G, < S > est l’intersection de tous les sous-groupes de G contenant S.

– Un sous-groupe de G contient S si et seulement si il contient < S >.

– Le sous-groupe < S > est l’ensemble des produits finis d’´el´ements de S ou de S⁻¹.

Montrons les deux derni`eres propositions : si le sous-groupe H contient S alors< S >∩H =<

S >⊂H, L⁰inverse est ´evident carS ⊂< S > .

SoitT l’ensemble des produits finis d’éléments de S ouS⁻¹ alors T est un sous-groupe de Get contientSdonc< S >⊂T. De plus si un sous-groupe contientS il contientT doncT =< S > . Proposition 1.18 Si x est un élément de G, alors < x > est l’ensemble des {xⁿ, n∈Z} Appliquer le 4/ de la proposition précédente.

D´efinition 1.19 Un groupe est de type fini s’il poss`ede une partie finie F telle que G=< F >

Exercice 1.20 1) Si < x >=Z alors x=±1.

2) Si H et K sont deux sous-groupes HK est un sous-groupe si et seulement si HK =KH.

3) Une partie non vide H est un sous-groupe si et seulement si ∀(a, b)∈H ab⁻¹ ∈H.

Th´eor`eme 1.21 Tout sous-groupe de Z est de la forme aZ.

Il est clair qu’un ensemble aZ est un sous-groupe de Z. Inversement si H est un sous-groupe de Z. Si H = {0} alors H = 0Z. Si H 6= {0}, soit x 6= 0 alors x ou −x est dans H et > 0, l’ensembleH contient des éléments positifs. On notera alorsa le plus petit élément >0 de H.

Si b ∈ H, on consid`ere le reste r de la division euclidienne de b par a, soit b = aq +r avec 0≤r < a. On a r ∈H et r < a donc r= 0.Par cons´equentH =aZ.

D´efinition 1.22 Si x ∈ G, on appelle ordre de x le plus petit entier > 0 ( ´eventuellement infini) tel que x^r =e. On note cet entier o(x).

(7)

Proposition 1.23 Si x∈G,l’ordre de xest l’ordre du groupe engendr´e parx. Six^m =e alors o(x) divise m.

Sir=o(x), alors les éléments x^k avec 0< k ≤r sont tous distincts, en effet sik < l sont deux entiers positifs ≤ r et si on a x^k = x^l, alors x^l−k =e avec 0 < l−k < r. Le groupe engendré par x a donc au moins r éléments distincts. De plus si m ∈ Z m = ar+b avec 0 ≤ b < r, x^m = (x^r)âx^b =x^b. Le groupe engendré par x a doncr éléments.

Sim =ar+b avec 0 ≤b < r, etx^m =e alors x^b =e. b = 0. Il en r´esulte queb = 0 etr =o(x) divisem.

1.3 Morphismes de groupes

D´efinition 1.24 Soient G et G⁰ deux groupes. Une application f de G dans G⁰ est un morphisme de groupe (ou homomorphisme) si, pour tout x, y dans G,

f(xy) =f(x)f(y).

Si G=G⁰, l’application f est appel´ee endomorphisme,

Proposition 1.25 Si f est un morphisme et sif est une bijection alorsf⁻¹ est un morphisme, on dit alors que f est un isomorphisme. Un endomorphisme bijectif est un automorphisme. Le compos´e de deux morphismes est un morphisme. L’ensemble des automorphismes d’un groupe G est un groupe not´e Aut(G).

Si a, b ∈ G⁰ alors il existe x et y tels que a = f(x), b = f(y) et ab = f(xy). D’autre part f⁻¹(a)f⁻¹(b) =xy =f⁻¹(ab), ce qui montre que f⁻¹ est un morphisme.

Proposition 1.26 Sieete⁰ sont les ´el´ements neutres respectivement deGetG⁰,alorsf(e) =e⁰ et f(x⁻¹) = f(x)⁻¹.

Comme f est un morphisme on a f(xe) = f(x) = f(x)f(e). En multipliant `a gauche par (f(x))⁻¹ on obtient e⁰ = (f(x))⁻¹f(x) = (f(x))⁻¹f(x)f(e) = f(e). D’autre part f(xx⁻¹) = f(e) = f(x)f(x⁻¹),de mˆeme f(x⁻¹x) = f(e) = f(x⁻¹)f(x).L’inverse de f(x) est donc f(x⁻¹).

Proposition 1.27 Soit f : G → G⁰ un morphisme de groupe. Si H est un sous groupe de G, f(H) est un sous-groupe de G⁰. Si H⁰ est un sous-groupe de G⁰, son image r´eciproque f⁻¹(H⁰) = {x;f(x)∈H⁰} est un sous-groupe de G.

En particulier f(G) est un sous-groupe de G⁰ appelé image de G par f et f⁻¹(e⁰) = {x, f(x) = e⁰} est un sous-groupe de G appelé noyau de f et noté kerf.

Si H est un sous-groupe de G alors e ∈ H et e⁰ = f(e) ∈ f(G) 6= ∅. Si u = f(x) ∈ f(G) et v =f(y)∈f(G) alors uv =f(xy)∈f(G). de mˆeme f(x⁻¹) = f(x)⁻¹ ∈f(G).

SiH⁰ est un sous-groupe de G⁰ alors f⁻¹(H⁰) n’est pas vide car il contient e (f(e) =e⁰ ∈ H⁰).

L’ensemblef⁻¹(H⁰) est stable par produit et inverse car si uetv ∈f⁻¹(H⁰), f(u) =x∈H⁰ et f(v) =y ∈H⁰. Commexy =f(uv)∈ H⁰, alors uv ∈f⁻¹(H⁰). De mˆeme f(u⁻¹) =f(u)⁻¹ ∈ H⁰ et doncu⁻¹ ∈f⁻¹(H⁰).

(8)

Proposition 1.28 Pour qu’un morphisme soit injectif il faut et il suffit que son noyau soit réduit à l’élément neutre.

Si y∈G⁰ et si f(x) =y alors f⁻¹(y) =xkerf. En effet si f(u) =f(x) alors ux⁻¹ ∈kerf.

Exemple 1.29 Si x∈G, soit f l’application d´efinie par Z → G

n 7→ xⁿ

L’application f est un morphisme et son noyau est le sous-groupe engendr´e par o(x).

Exemple 1.30 Si G est ab´elien et n ∈Z fix´e l’application

G → G

x 7→ xⁿ

est un morphisme de noyau les ´el´ements d’ordre divisant n.

Autres Exemples 1) L’application ”d´eterminant” : det :GL_n(K)→ K^∗ est un morphisme.

Par d´efinition son noyau est not´e SL_n(K).

2) L’application θ de R dans C:x7→θ(x) = exp(2iπx) est un morphisme de noyau Z.

3) Pourufixé, l’applicationx7→u⁻¹xuest un automorphisme appelé automorphisme intérieur noté i_u.

4) Si Gest ab´elien l’application x7→x⁻¹ est un automorphisme.

Définition 1.31 Si V est un espace vectoriel sur C de dimension finie n, un morphisme ρ d’un groupe G dans Gl_n(V) est une représentation linéaire de G. Si ρ est injectif on dit que la représentation est fidèle.

1.4 Classes modulo un sous-groupe, Th´ eor` eme de La- grange.

Définition 1.32 Si H est sous-groupe de G et a un élément de G, l’ensemble aH est appelé classe à gauche de a modulo H, de même Ha est appelé classe à droite. L’ensemble des classes

`

a gauche d’éléments de G modulo H est noté G/H et l’ensemble des classes à droite est noté G\H. L’application π de G dans G/H définie par π(x) =xH est dite canonique.

Proposition 1.33 Si H est un sous-groupe de G, si a et b sont deux éléments de G, les conditions suivantes sont équivalentes

– aH =bH – a ∈bH – b⁻¹a∈H

La relation a ∼_g b si aH = bH est une relation d’´equivalence. Les classes pour cette relation (classes `a gauche modulo H ) forment une partition de G.

(énoncés équivalents avec les classes à droite Ha)

(9)

SiaH =bH il existe h et h⁰ ∈H tels que ah =bh⁰. Multipliant à droite par h⁻¹, on en déduit quea=bh⁰h⁻¹ i.e. a∈bH.Sia=bh” multipliant à gauche parb⁻¹ il en résulte queb⁻¹a∈H.

Définition 1.34 Une partieS est appelée système de représentants des classes à gauche de G modulo H, si G est la réunion disjointe des classes sH où s décrit S.

Exemples1/ L’ensemble{0,1,2, , n−1}est un système de représentants des classes à gauche deZ modulo H =nZ

2/ Sipest un entier impair l’ensemble {−^p−1₂ ,−^p−3₂ ....0, ..^p−1₂ }est un syst`eme de repr´esentants des classes deZ modulo pZ.

Lemme 1.35 Si S est un système de représentants des classes à gauche modulo H alors S⁻¹ est un système de représentants des classes à droite modulo H.

L’applicationx7→ x⁻¹ est une bijection de G dans G qui transforme la partie uH en la partie Hu⁻¹.

Corollaire 1.36 Si G est un groupe et H un sous-groupe de G , les ensembles G/H et G\H ont mˆeme cardinal.

Définition 1.37 Le cardinal de G/H (ou G\H) est appelé l’indice de H dans G et noté (G : H).

.On obtient alors le th´eor`eme suivant :

Théorème 1.38 (Thèorème de Lagrange) Si H est un sous-groupe de G alors

|G|= (G:H)|H|

En utilisant la bijectionh7→ahon montre que toutes les classes ont mˆeme cardinal, le cardinal deH

SiS est un système de représentants deG moduloH , l’application de (S×H) dansG définie par (s, h)7→sh est un bijection. Les deux ensembles (S×H) et Gont donc même cardinal.

Corollaire 1.39 L’ordre d’un sous-groupe divise l’ordre du groupe ; l’ordre d’un ´el´ement divise l’ordre du groupe.

Si K ⊂H sont deux sous-groupes de G, si G est fini alors (G:H)(H :K) = (G:K).

Evident avec le théorème précédent.

Cette deuxième propriété peut aussi se montrer directement en utilisant les définitions et ne nécessite pas l’hypothèse de finitude de G. Pour cela un système de représentants de K dans Gest obtenu en faisant les produits d’un élément d’un système de représentants de K dans H et d’un élément d’un système de représentants deH dans G.

Exercice. Si H et K sont deux sous-groupes d’indice fini il en est de mˆeme de H∩K . On pourra d´efinir une injection de G/(H∩K) dans (G/H)×(G/K).

(10)

1.5 Sous-groupes distingu´ es (ou normaux)

Théorème 1.40 SoitHun sous-groupe d’un groupeG. Les conditions suivantes sont équivalentes (i) pour tout élément x de G, xH =Hx

(ii) pour tout élément x de G, H =xHx⁻¹. (ii)’ pour tout élément x de G, xHx⁻¹ ⊂H.

(iii) Il existe une loi de composition (et une seule ) sur l’ensemble G/H pour laquelle G/H est un groupe tel que l’application canonique π :G7→G/H soit un morphisme.

(iv) Il existe un groupe L et un homomorphisme f tel que ker(f) = H.

Définition 1.41 Un groupe qui vérifie l’une des propriétés du théorème précédent est ditdis- tingué ou normal, dans ce cas le groupe G/H est appelé groupe quotient de G par H. Pour abréger on note HCG au lieu de ” H est un sous-groupe distingué de G”

Démonstration du théorème ii)’ implique ii)

Si on choisit x etx⁻¹ on a les deux inclusions xHx⁻¹ ⊂H etx⁻¹Hx⊂H.

L’inclusion x⁻¹Hx ⊂ H donne, en multipliant `a droite par x⁻¹ et `a gauche par x, l’inclusion H ⊂xHx⁻¹. Donc H =xHx⁻¹.

ii) implique i)

Si pour tout x∈G, H =xHx⁻¹, alors multipliant `a droite parx on a Hx= (xHx⁻¹)x=xH.

i) implique iii)

Si B = xH et C = yH sont deux classes à gauche de G modulo H, on a BC = (xH)(yH) = x(Hy)H = x(yH)H = xyH. Il en résulte que CD est une classe de G modulo H. On définit une loi de composition en prenant pour composé de deux classes, la classe du produit des deux

éléments. S’il existe une autre loi notée∗ qui vérifie les propriétés de (iii) on aura C∗D= (xH)∗(yH) =π(x)∗π(y) =π(xy) =xyH

ce qui implique que les deux lois sont identiques.

Montrons que G/H est un groupe. L’associativité résulte de l’associativité de G. L’élément neutre est la classe deH carCH = (xH)H =xH =C et de mêmeHC =C. Enfin la classe de x⁻¹ est l’inverse de la classe de x car (xH)(x⁻¹H) = x(x⁻¹H)H =H. Enfin par définition de la loi de composition de G/H, on a (xH)(yH) = xyH, ce qui montre queπ est un morphisme.

iii) implique iv)

Il suffit de remarquer queH = ker(π) et on choisi L=G/H.

iv) implique ii)’

Supposons que H = ker(π). Si x est un élément de G et si h est un élément du noyau de f, alors f(xhx⁻¹) = f(x)f(h)f(x⁻¹) = e . L’élément xhx⁻¹ est dans le noyau de f. Ainsi, pour tout x on a l’inclusion xHx⁻¹ ⊆H.

Proposition 1.42 Soit G groupe

a) Le noyau d’un morphisme est un groupe distingu´e b) Un sous-groupe d’indice 2 est distingu´e.

c) Toute intersection de groupes distingu´es de G est un sous-groupe distingu´e de G

d) Si H et K sont deux sous-groupes de G. Si H est distingué dans G, alors HK est un sous-groupe de G. Si, de plus K est distingué dans G alors HK est distingué dans G

(11)

Preuve du a) si x ∈ G et h ∈ kerf alors f(xhx⁻¹) = f(x)f(h)f(x⁻¹) = f(x)f(x⁻¹) = e et donc xhx⁻¹ ∈kerf.

Preuve du b) les deux classes sont formées de H et de son supplémentaire. Les classes à droite et à gauche sont identiques.

Preuve du d). En utilisant ii) du Théorème précédent on a kH =Hk pour toutk de K. Cette

égalité montre que HK = KH. On remarque aussi que HH = H car H est un sous-groupe, de même pour K. Montrons que HK est stable par multiplication, en effet (HK)(HK) = H(KH)K =H(HK)K =HHKK =HK. De même (HK)⁻¹ =K⁻¹H⁻¹ =KH =HK.

SiK est distingué dans Get si x est un élément de G, on axHKx⁻¹ =xHx⁻¹xKx⁻¹ =HK.

Il en r´esulte que HK est distingu´e dansG.

1.6 Produit direct de groupes

D´efinition 1.43 Si H et K sont deux groupes, on d´efinit le produit de ces deux groupes en posant G=H×K avec comme loi de composition

((h, k),(h⁰, k⁰))7→(hh⁰, kk⁰)

On vérifie facilement que G a une structure de groupe d’élément neutre (e_H, e_K) et (h, k) a pour inverse (h⁻¹, k⁻¹).

D´efinition 1.44 Si G est un groupe et si G₁ et G₂ sont deux sous-groupe de G on dit que G est produit direct de G₁ par G₂ si l’application

φ : G₁×G₂ →G (h₁, h₂) 7→ h₁h₂

est un isomorphisme de groupes.

Th´eor`eme 1.45 Soient G₁ et G₂ deux sous-groupe d’un groupe G. Le groupe G est produit direct deG1 par G2 si et seulement si G1∩G2 ={e}, G=G1G2 et ∀x∈G1,∀y∈G2 xy=yx.

Si G est produit direct de G1 par G2 on a ∀u ∈ G1∩G2 φ((u, e)) = φ((e, u)) = u. Comme φ est injective on en déduit que (u, e) = (e, u) et u=e. Six ∈G₁, y ∈G₂ alors φ((x, e) (e, y)) = xy=φ((x, y)), mais aussi φ((x, y)) =φ((e, y) ((x, e)) =yx. L’égalitéG =G₁G₂ provient de la surjectivité de φ.

Réciproquement supposons que les trois conditions sont vérifiées. Le propriétés G₁ ∩G₂ = {e} et G = G₁G₂ entraˆınent que φ est bijective. Si (g₁, g₂) et (g₁⁰, g⁰₂) ∈ G₁ × G₂ alors φ((g1, g2).(g⁰₁, g₂⁰)) =g1g₁⁰g2g₂⁰ =g1g2g₁⁰g₂⁰ =φ((g1, g2))φ((g⁰₁, g₂⁰)), φ est donc un morphisme.

Remarque : les deux groupes G₁ et G₂ sont distingués. En effet si x ∈ G et si h₁ ∈ G₁, on a x = g₁g₂ et xh₁x⁻¹ = g₁h₁g₁⁻¹ ∈ G₁. Il en est de même pour G₂. Inversement supposons que G1 ∩G2 = {e}, G = G1G2, G1 et G2 distingués. Alors si x ∈ G1 et y ∈ G2 xyx⁻¹y⁻¹ = x(yx⁻¹y⁻¹) = (xyx⁻¹)y⁻¹ est dans G₁ ∩G₂ donc x et y commutent.

(12)

1.7 Produit semi-direct.

D´efinition 1.46 Soient G₁ et G₂ deux sous-groupe d’un groupe G. Le groupe G est produit semi-direct de G₁ par G₂ si et seulement si G₁∩G₂ ={e}, G=G₁G₂ et G₁ distingu´e dans G.

Remarque hors programme

Si x₂ ∈ G₂ on note φ_x₂ l’automorphisme intérieur associé à x₂ : φ_x₂(u) = x₂ux⁻¹₂ . Alors l’application x₂ 7→ φ_x₂ est un morphisme de G₂ dans Aut(G₁). On remarque que x₁x₂x⁰₁x⁰₂ = x₁φ_x

2(x⁰₁)x₂x⁰₂

Inversement si Γ₁ et Γ₂ sont deux groupes et φ un morphisme de Γ₂ dans Aut(Γ₁) on peut munir Γ₁×Γ₂ d’une structure de groupe en posant comme loi

∗: (g₁, g₂)∗(g₁⁰, g₂⁰) = (g₁φ(g₂) (g₁⁰), g₂g⁰₂) D´emonstration laiss´ee en exercice.

Si on identifie Γ₁ et Γ⁰₁{(g, e₂), g ∈ Γ₁} et Γ₂ avec Γ⁰₂ ={(e₁, g⁰), g⁰ ∈Γ₂) alors on montre que Γ₁×Γ₂ avec la loi∗ est produit semi-direct de Γ₁ par Γ₂.

1.8 Th´ eor` emes d’isomorphismes.

Proposition 1.47 Soient f :G→G⁰ un morphisme etH un sous-groupe distingu´e de G. Les conditions suivantes sont ´equivalentes :

i) H est contenu dans kerf.

ii) Il existe un morphisme f de G/H dans G⁰ qui rend commutatif le diagramme suivant

G →^f G⁰

π ↓ % _f

G/H

i.e. tel que f =f◦π, o`u π est l’homomorphisme canonique de G dans G/H.

Si ces conditions sont vérifiées alors f est unique. On dit que f est déduit de f par passage au quotient.

SiH est contenu dans le noyau de f, et si xety sont deux éléments de la même classeC deG modulo H, alors x= yh avec h ∈ H et donc f(x) = f(yh) = f(y). Ainsi deux éléments de la même classe ont même image par f . Nous noterons cette imagef(C). On vérifie que f est un morphisme et quef(π(x)) =f(C) = f(x). Inversement soitϕ est un morphisme de G/H dans G⁰ vérifiant f =ϕ◦π,si h est dansH alors f(h) =ϕ(π(h)) =ϕ(1) =e. On a donc H ⊂kerf. Puisque π est surjectif et que f ◦π=f =ϕ◦π on en déduit quef =ϕ.

Théorème 1.48 (Premier théorème d’isomorphisme ou théorème de factorisation) Soit f : G → G⁰ un morphisme de groupe. L’homomorphisme f de G/kerf dans G⁰ déduit de f par passage au quotient par kerf est un isomorphisme de G/kerf dans Imf. En particulier si f est surjectif, f est un isomorphisme de G/kerf sur G⁰

Le théorème se déduit de la proposition en prenantH = kerf.

(13)

Corollaire 1.49 Soit G un groupe fini. Soit f :G→G⁰ un morphisme de groupe. Alors

|Imf| × |kerf|=|G|

Se déduit du théorème de Lagrange car Imf ∼G/kerf et (G: kerf) = |G/kerf|

Exemples 1)L’application θ de R dans C : x7→ θ(x) = exp(2iπx) est un homomorphisme de noyau Z. Son image est form´ee du sous-groupe S₁ des nombres complexes de module 1. D’o`u l’isomorphisme S₁ ∼R/Z.

2) Un automorphismeσ deGest appel´e automorphisme int´erieur de Gs’il existe a dans Gtel que σ(x) =axa⁻¹. On notera un tel automorphisme σ_a; on remarque que σ_a◦σ_b(x) =σ_ab(x).

Les automorphismes intérieurs forment donc un groupe pour la composition des morphismes notéInt(G). L’applicationa7→σa est un morphisme surjectif deGdans Int(G),son noyau est le sous-groupe C ={a,∀x ∈G axa⁻¹ =x }={a;∀x∈ G;ax =xa }. On appelle C lecentre deG. On déduit du théorème précédent l’isomorphisme Int(G)∼G/C.

Théorème 1.50 (Deuxième théorème d’isomorphisme). Soit G un groupe, K un sous-groupe, et H un sous-groupe distingué de G. Alors

a) H est un sous-groupe normal de HK et H∩K est un sous-groupe distingu´e de K b) L’inclusion de K dans HK induit un isomorphisme dit canonique :

K/(H∩K)∼(HK)/H

Ebauche de preuve. Remarquons que d’après la proposition 1-43 HK est un groupe et H est normal dansHK. Soit π l’homomorphisme canonique deHK surHK/H eti homomorphisme inclusion deK dans HK.Considérons l’homomorphismef =π◦i.,son noyau est égal àH∩K . Ceci prouve que H∩K est un sous-groupe normal de K. On montre quef est surjectif et on applique le premier théorème d’isomorphisme.

Théorème 1.51 Soit f :G →G⁰ un homomorphisme surjectif, de noyau N. Soient E l’ensemble des sous-groupes de G contenant N et E⁰ l’ensemble des sous-groupes de G⁰. Si α est l’application deE dansE⁰ définie par α(H) =f(H) et siβ est l’application de E⁰ dans E définie par β(H⁰) = f⁻¹(H⁰). Alors

a) α et β sont des bijections inverses l’une de l’autre b) α et β respectent la relation d’inclusion

c) soient H et H⁰ =α(H). Alors H est normal dans G si et seulementH⁰ est normal dans G⁰. Théorème 1.52 (Troisième théorème d’isomorphisme) Soit G un groupe, N un sous-groupe normal de G et π l’homomorphisme canonique de G dans G/N.

a)Pour tout sous-groupe H de G contenant N, H/N = π(H) est un sous-groupe de G/N.

L’application H 7→ H/N est une bijection de l’ensemble des sous-groupes de G contenant N sur l’ensemble des sous-groupes de G/N; la bijection r´eciproque associe `a tout sous-groupe H⁰ de G/N le sous-groupe π⁻¹(H⁰). En outre les bijections ci-dessus respectent les relations d’inclusion.

b)Soit H un sous-groupe de Gcontenant H.Pour que H soit distingu´e dansGil faut et il suffit que H/N soit normal dans G/N. Si H est normal dans G on a un isomorphisme canonique

θ :G/H ∼(G/N)(H/N)

(14)

Plus pr´ecis´ement θ est le seul homomorphisme de G/H qui rend commutatif le diagramme suivant

G → G/N

↓ ↓

G/H −→∼ (G/N)(H/N)

ExerciceSiH etK sont deux sous-groupes normaux de GavecH ⊂K.On suppose queG/H est ab´elien. Montrer queG/K est ab´elien

1.9 Groupes cycliques et monog` enes.

On rappelle que les sous-groupes du groupe (additif) Zsont de la forme aZ .

Définition 1.53 Un groupe est monogène s’il est engendré par un seul élément. Un groupe d’ordre fini engendré par un élément est appelé cyclique.

Proposition 1.54 Tout groupe monogène est isomorphe à Zou àZ/nZ. Tout groupe cyclique est isomorphe à Z/nZ. .

Soit φ le morphisme de Z dans G définit par φ(r) = a^r où a est un générateur d’un groupe monogène ; φ est surjectif. Son noyau est un sous-groupe de Z . Si kerφ = {e}, alors φ est injective et G est infini et φ est un isomorphisme. Si kerφ 6= {e}, alors kerφ = nZ, du théorème d’isomorphisme on en déduit l’isomorphisme ¯φ :Z/nZ∼G.

Proposition 1.55 Soit G un groupe cyclique d’ordre n engendré par x. Le sous-groupe en- gendré par x^t est d’ordre p.g.c.d(n,t)ⁿ . En particulier x^t est un générateur de G si et seulement si t et n sont premiers entre eux.

Le groupe des automorphismes de G est isomorphe `a (Z/nZ)^∗

On a< x^t>=G,si et seulement s’il existertel que (x^t)^r =x,ce qui ´equivaut `andivisetr−1.

Utilisant l’identité de Bezout on en déduit quet etnsont premiers entre eux. Si δest le p.g.c.d de n et t alors y =x^δ engendre un groupe d’ordre n⁰ = ⁿ_δ. D’autre part x^t =y^t⁰ avec t⁰ = ⁿ_δ . Commet⁰ et n⁰ sont premiers entre eux on en déduit, d’après ce qui précède, quex est d’ordre t⁰.

Un morphisme f d’un groupe cyclique est défini par l’image d’un générateur, soit r (mod n) tel quef(x) =x^r.Ce morphisme est un automorphisme si f(x) engendre G,c’est à direr etn premiers entre eux. Ceci équivaut à r ∈(Z/nZ)^∗.

Théorème 1.56 Tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique. Si le groupe cyclique est d’ordre n engendré parx, pour tout diviseurdde n il existe un et seul sous-groupe deGd’ordre d. Un générateur de ce sous-groupe est xⁿ^d.

Utilisons le morphismeφdeZdansGdéfinit parφ(r) =x^ret le théorème 1-51 Les sous-groupes de G correspondent par φ aux sous-groupes de Z contenant nZ , c’est à dire les sous-groupes mZ oùm|n.

Th´eor`eme 1.57 Simetnsont deux entiers premiers entre eux les deux groupesZ/mZ×Z/nZ et Z/mnZ sont isomorphes.

(15)

Siπ_m etπ_n sont les deux applications canoniquesπ_m :Z→Z/mZetπ_n:Z→Z/nZ,soit l’application π : Z→Z/mZ×Z/nZ définie par π(x) = (π_m(x), π_n(x)). Son noyau est l’ensemble desx∈mZetnZ,c’est à diremZ∩nZ.Commemetn sont premiers entre euxmZ∩nZ=mnZ. Le théorème de factorisation des morphismes permet de construire un morphisme injectif de Z/mnZ dans Z/mZ×Z/nZ. Comme ces deux ensembles ont le même nombre d’éléments le morphisme est surjective, c’est donc un isomorphisme.

Exercice 1.58 D´eterminer tous les sous-groupes de Z/12Z .

(16)

Chapitre 2

Action de groupe, Groupe op´ erant sur un ensemble

2.1 D´ efinitions

D´efinition 2.1 (1) Une action ( ou op´eration) d’un groupe G sur un ensemble X 6=∅ est un morphisme π de G dans l’ensemble S_X des bijections de X dans X.

Plus précisément ceci équivaut aux propriétés suivantes Définition 2.2 (2) Il existe une application ·

G×X → X (g, x) 7→ g·x qui v´erifie ∀g, g⁰ ∈G

e·x = x

((g·g⁰)·x) = g·(g⁰·x)

Les deux définitions sont équivalentes si on poseπ(g)(x) = g·x. En effet pour g fixé on vérifie facilement que ces deux propriétés ci-dessus montrent que l’application x 7→ g · x est une bijection d’inversex7→g⁻¹·x.

Exemple 2.3 SoitK un cube de centre O etGle groupe des rotations qui laissent globalement invariant un cube K de centre O.Soit XS l’ensemble des sommets du cube, XF l’ensemble des faces du cube, X_Ar l’ensemble des arˆetes du cube. Le groupe G op`ere sur les trois ensembles X_S, X_Ar, et X_F.

Exemple 2.4 Un groupe G opère sur lui-même par translation ( à gauche ou à droite).

Exemple 2.5 Un groupe G op`ere sur lui-mˆeme par conjugaison :g·x=gxg⁻¹.

Exemple 2.6 Un groupe G op`ere sur les classes `a gauche modulo un sous-groupeH : g·aH = gaH

(17)

Exemple 2.7 Un groupe Gopère sur l’ensemble E_H les conjugués d’un sous-groupe, où E_H = {xHx⁻¹, x∈G} avec l’opération g·aHa⁻¹ =gaHa⁻¹g⁻¹.

Définition 2.8 Le stabilisateur d’un élément x∈X est l’ensemble G_x ={g ∈G;g·x=x}.

Définition 2.9 L’orbite G(x) d’un élément x∈X est l’ensemble {y∈X;∃g ∈G, y =g·x}.

Proposition 2.10 Le stabilisateur d’un élément x ∈ X est un sous-groupe de G ( nommé aussi sous-groupe d’isotropie)

Sig, g⁰ ∈G_x alors (gg⁰)·x=g·(g⁰·x) =g·x=x,ce qui montre que G_x est stable par produit.

Sig ∈Gx alors g⁻¹·x=g⁻¹·(g·x) = e·x=x; donc Gx est stable par inverse.

Proposition 2.11 Deux orbites sont disjointes ou ´egales.

Six, y ∈X et si G(x)∩G(y)6=∅,soit z ∈G(x)∩G(y).Il existeg etg⁰ tels quez =g·x=g⁰·y, alorsx=g⁻¹·(g⁰ ·y) = (g⁻¹g⁰)·y etG(x)⊂G(y). De même y=g⁰⁻¹·(g·x) et G(y)⊂G(x)., d’où l’égalité des deux orbites.

Il r´esulte de cette proposition que l’ensemble des orbites forme une partition de X. La relation xRy si x∈G(y) est une relation d’´equivalence.

Proposition 2.12 Si deux éléments sont dans la même orbite leurs stabilisateurs sont conjugués.

Plus pr´ecis´ement si x=g·y alors G_y =gG_xg⁻¹.

Si x = g·y et si γ ∈ G_x alors γ·x = x. On a y = g⁻¹·x = g⁻¹(γ ·x) = (g⁻¹γg)·(g⁻¹x) = (g⁻¹γg)·y donc g⁻¹γg ∈G_y, soit G_x ⊂gG_yg⁻¹ On montre de mˆeme l’autre inclusion.

D´efinition 2.13 – Si |G(x)|= 1 alors x est un point fixe pour l’action de groupe

– Le groupe G op`ere transitivement sur X ∀x, y ∈G il existe au moins un g tel que y =g·x.

Dans ce cas l’ensemble X n’a qu’une orbite.

– Le groupe G opère fidèlement sur X siπ est injective – Le groupe G opère librement si ∀x∈X G_x ={e}

Proposition 2.14 On a l’´egalit´e kerπ=∩x∈XG_x

g ∈ ∩x∈XG_x ⇐⇒ ∀x ∈ X, g·x = x. D’autre part π(g)(x) = g ·x, donc g ∈ ∩x∈XG_x ⇐⇒ ∀x π(g)(x) =x; cette dernière propriété équivaut àπ(g) =Identité.

Remarque 2.15 Si l’op´eration est la conjugaison alors G_x ={y ∈G, yxy⁻¹ =x}={y, yx = xy} est aussi appel´e le commutateur de x.

Remarque 2.16 L’ensemble des points fixes pour la conjugaison est {g;∀k ∈G; gk =kg} est un sous-groupe de G appel´e le centre de G.

Remarque 2.17 Si G opère sur un ensemble X et si H est un sous-groupe de G alors la restriction π_H de π à H définit une opération deH sur X. Les orbites de l’action deH sur X sont contenues dans les orbites de l’action de G sur X.

(18)

2.2 Formule des classes

Théorème 2.18 a/ Le nombre d’éléments dans l’orbite de x est l’indice du stabilisateur de x, soit |G(x)|= (G:G_x).

b/ Formule des classes : si T est un ensemble de repr´esentants des orbites alors

|X|=X

x∈T

(G:G_x)

a/ L’égalité g ·x = g⁰ ·x équivaut à g⁻¹g⁰ ∈ G_x c’est à dire gG_x = g⁰G_x. L’application qui à la classe gG_x associe g ·x est donc bien définie, elle est surjective (d’après la définition de l’orbite de x) et elle est injective d’après la remarque précédente, donc |G(x)|= (G:G_x). b/ On utilise a/ et le fait que les orbites forment une partition deX.

2.3 Applications

2.3.1 Normalisateur d’un sous-groupe

Soit X l’ensemble des sous-groupes d’un groupe G. G op`ere surX par conjugaison : (g, H)7→

gHg⁻¹.L’orbite de H pour cette action est l’ensemble des groupes conjugu´es de H.

D´efinition 2.19 Le normalisateur N_G(H) d’un sous-groupe H de G est le stabilisateur de H pour la conjugaison.

Le nombre de conjugués est, d’après le théorème précédent, l’indice du stabilisateur GH = N_G(H) de H dans G. Par définition de G_H et de la conjugaison

G_H ={k;kHk⁻¹ =H}

On voit alors que H est distingué dansG_H et que G_H est le plus grand sous-groupe de Gdans lequel H est distingué. On peut énoncer le résultat :

Proposition 2.20 Le nombre de sous-groupes conjugu´ees de H est l’indice du normalisateur de H dans G.

2.3.2 Action d’un p−groupe. Centre d’un p−groupe

D´efinition 2.21 Si p est un nombre premier etn un entier positif un p−groupe est un groupe d’ordre pⁿ.

Proposition 2.22 Si G, unp-groupe, op`ere sur un ensemble X l’ensemble des points fixesX^G v´erifie

|X| ≡ |X^G| modp

Dans la formule des classes l’ensembleT des représentants des orbites est formé de deux parties T =T⁰ ∪T⁰⁰ oùT⁰ est formé des éléments deT dont l’orbite a un seul éléments. Siu∈T⁰⁰ alors

|G(u)|=p^s^u >2, donc s_u ≥1,donc P

u∈T⁰⁰p^s^u ≡0 modp. D’autre part P

u∈T⁰1 =|X^G| Le groupe Gopère sur lui-même par conjugaison. Dans ce cas l’orbite de{e} n’a que l’élément {e}.

(19)

Définition 2.23 Le centre d’un groupe est le sous-groupe noté Z(G) défini par Z(G) ={x,∀y∈G, xy =yx}

Le centre peut-être est aussi vu comme l’ensemble des éléments de G dont l’orbite (pour la conjugaison) est réduite à un seul élément.

Proposition 2.24 Un p− groupe a un centre non r´eduit `a {e}.

C’est un cas particulier de la proposition pr´ec´edente pour la conjugaison. Comme |X| = p^l et X^G = Z(G) on a |Z(G)| ≡ 0 modp. Mais comme e ∈ Z(G), |Z(G)| est un entier non nul divisible par pdonc ≥p≥2.

2.3.3 D´ ecomposition d’une permutation en produit de cycles ` a sup- ports disjoints

Théorème 2.25 Toute permutationσse décompose en un produit de cycles à support disjoints.

La décomposition est unique à l’ordre près des cycles

Les supports des cycles sont les orbites sous l’action de < σ >sur l’ensemble {1,2..n}.

Voir Chapitre sur le groupe sym´etrique

(20)

Chapitre 3

Th´ eor` eme de Sylow

3.1 D´ efinition d’un p-sous-groupe de Sylow

Le théorème de Lagrange montre que si H est un sous-groupe d’un groupe G d’ordre fini, l’ordre de H divise l’ordre de G. Les théorèmes de Sylow donnent une réponse à la question suivante : sid est un diviseur de l’ordre d’un groupe G existe-t-il un sous-groupe deG d’ordre d.La réponse est non en général ( voir exemples en TD), mais sous certaine conditions portant surd on a une réponse positive.

Définition 3.1 Si G est un groupe tel que |G| = mpâ avec m et p premiers entre eux, un p−sous-groupe de Sylow de G est un p−sous-groupe de G d’ordre pâ.

3.2 Premier th´ eor` eme

Théorème 3.2 (Premier théorème) Si p est un nombre premier qui divise l’ordre d’un groupe G, alors G possède des p−sous-groupe de Sylow.

Lemme 3.3 Tout p−sous-groupe d’un groupe Gd’indice premier `a p est un p−sous-groupe de Sylow de G.

Evident si on se rappelle de la formule|G|= (G:S)|S|.

Lemme 3.4 SiGest un groupe et Sun p−sous-groupe de Sylow deG, siH est un sous-groupe deG, il existe un conjugu´e deS not´e gSg⁻¹ tel que H∩gSg⁻¹ soit unp−sous-groupe de Sylow de H.

On suppose quen =|G|=mp^a avec p et m premiers entre eux. Soit X l’ensemble des classes

`

a gauche de G modulo S. Les groupes G et H op`erent sur X par translation `a gauche : (g, kS)7→gkS.Le stabilisateur de la classe vS sous l’action de G est

G_vS : ={g ∈G, gvS =vS}

= {g, v⁻¹gvS =S}

Les deux classes v⁻¹gvS etS sont égales si et seulement siv⁻¹gv ∈S.Il en résulte queG_vS = vSv⁻¹. Les groupes conjugués ont même nombre d’éléments donc G_vS est un p−sous-groupe

(21)

de Sylow de G. L’action deH est la restriction de l’action de G sur X donc H_vS = H∩G_vS. et c’est un p− groupe. La formule des classes pour l’action de H surX donne

|X|=m=X

a∈T

H :H∩aSa⁻¹

Comme m est premier à p il existe un a ∈ T tel que p ne divise pas (H :H∩aSa⁻¹). Le sous-groupe H ∩aSa⁻¹de H, est un p−groupe et est son indice dans H est premier à p; c’est donc d’après le lemme précédent c’est unp−sous-groupe de Sylow de H.

Lemme 3.5 Tout groupe est isomorphe `a un sous-groupe d’un groupe poss´edant des p−sous- groupes de Sylow.

Si G est un groupe d’ordre n il existe une bijection h de G sur X ={1,2, ..n}. A un élément a∈Gon fait correspondre la translation à gaucheτ_apar cet élément qui définit une permutation des éléments de G. L’application t :a 7→ τ_a est un morphisme injectif de G dans S(X) = S_n. D’autre part soitFp =Z/pZle corps àpéléments etV =Fⁿp un espace vectoriel de dimensionn surFp muni d’une base (e₁, e₂, ..e_n).A toute permutation deσ deS_non associe l’applicationf_σ linéaire définie sur la base des e_i par .f_σ(e_i) = e_σ(i). L’applicationf :σ 7→f_σ est un morphisme injectif de S_n dans Gl_n(V). Composant f et t on en déduit que G est isomorphe à un sous- groupe deGl_n(V).Calculons l’ordre deGl_n(V),pour cela il suffit de calculer le nombre de bases deV.En effet une application linéaire est définie par l’image d’une base et l’application linéaire sera inversibles si l’image d’une base deV est une base deV. Poure₁ on apⁿ−1 choix, poure₂ il suffit de choisir un vecteur∈/ V ect(e₁) = Z/pZe₁,donc on a pⁿ−pchoix. Pour e₃ il suffit de choisir un vecteur ∈/ V ect(e₁, e₂) = Z/pZe₁L

Z/pZe₂, donc pⁿ−p² choix. Par r´ecurrence on en d´eduit que|Gl_n(V)|= (pⁿ−1) (pⁿ−p) (pⁿ−p²)....(pⁿ−pⁿ⁻¹) = p^n(n−1)/2r avec (r, p) = 1.

Le sous-groupeS des matrices ayant des 1 sur la diagonale et de 0 en dessous de la diagonale est d’ordrep^n(n−1)/2,en effet il suffit de compter le nombre de choix pour les coefficients au dessus de la diagonale. Le groupeS est donc un p− sous-groupe de Sylow de G.

Ces trois lemmes montrent l’existence de p-sous-groupe de Sylow de G.

Cauchy a montré en 1825 un théorème plus faible : si p premier divise l’ordre de G, il existe dans G un élément d’ordrep. On peut déduire ce théorème du théorème précédent : soit S un p-sous-groupe de Sylow deG etx∈G, alors o(x) = p^t. On vérifie que y=x^p^t−1 est d’ordrep.

3.3 Deuxi` eme th´ eor` eme

Théorème 3.6 (Deuxième théorème) 1. Toutp−sous-groupe de Gest contenu dans un p-sous-groupe de Sylow de G.

2. Tous les p-sous-groupe de Sylow de G sont conjugués. (en particulier si l’un des p-sous- groupe de Sylow de G est distingué il n’y en a qu’un seul et réciproquement)

3. Le nombre de p-sous-groupe de Sylow de G est ≡ 1 modp et divise l’ordre du groupe G (divise m).

Remarque : Une cons´equance de 2/ est que (G:N_G(S)≡1 modp

(22)

1/ SiHest unp-sous-groupe deG, on applique le lemme 3−4.Il existe alors unp−sous-groupe de Sylow de G et un ´el´ement x∈ G tel que H∩xSx⁻¹ soit un p-sous-groupe de Sylow de G.

CommeH est un p−groupe H∩xSx⁻¹ =H et doncH ⊂xSx⁻¹.

2/ Si S₁ et S₂ sont deux un p−sous-groupe de Sylow de G, on applique 1/ avec H =S₁. Il en r´esulte queS₁ ⊂xS₂x⁻¹ donc S₁ =xS₂x⁻¹.

3/ SiS est unp−sous-groupe de Sylow deG,on fait opérer S sur l’ensembleX ={xSx⁻¹, x∈ G}.Soit n_p =|X|.On cherche les T ∈X dont l’orbite a un seul élément. Le sous-groupe S est l’un deux est c’est le seul. En effet T 6= S est un autre élément, on considère les sous-groupe N engendré par T et S. Montrons que T C N. Pour cela il suffit de montrer que gT g⁻¹ = T pourg ∈T etg ∈S.( car tout élément de N est un produit fini d’élémnts deS ouT),ceci est vrai par définition deT.Le sous-groupe N possède donc unp-sous-groupe de Sylow distingué ; commeS est aussi unp-sous-groupe de Sylow deN on aS =T. Comme les orbites sont d’ordre une puissance de p,la formule des classes donne n_p =|X|= 1 +P

ai>1p^aⁱ,

Enfin le nombre de conjugu´es d’un p-sous-groupe de Sylow S est l’indice du normalisateur NG(S) dans G donc divise m.

Nous donnons une deuxième démonstration utilisant uniquement la formule des classes. Les deux lemmes suivants montrent le premier théorème.

On suppose toujours que|G|=n =pâm avec (m, p) = 1. On note F l’ensemble des parties de Gqui ont pâ éléments et on fait opérer G à gauche sur F par (g, A)7→gA.

Lemme 3.7 Le stabilisateur G_Ad’une partieA∈Fest unp−groupe etAest r´eunion disjointe de classes `a droite G_Aa_i

Par définition de G_A on en déduit que le groupe G_A opère sur A, en effet si g ∈G_A et a ∈A alorsga ∈A.Les orbites sous cette action sont les ensemblesG_Aαpour unαdansA.Les orbites sont disjointes et deux ensemblesG_Aα etG_Aβ ont même nombre d’éléments donc|A|=r|G_A|.

Il en r´esulte que G_A est unp groupe.

Lemme 3.8 Notons F₁ (resp F₀) le sous-ensemble de F formé des parties A telles que |G_A|= pâ (resp. |G_A| < pâ) et N₁ (resp N₀) le cardinal de F₁ (resp F₀), alors N₁ ≡ 1 modp et N0 ≡0 modp.

Le groupe G opère sur F0 : si A ∈ F0 et si g ∈ G alors gA ∈ F0 en effet gA est dans l’orbite de l’action de G su F donc le stabilisateur de gA est conjugué de G_A; il a même nombre d’éléments que G_A i.e. |G_A| = |G_gA| < pâ. La formule des classes appliquée à F₀ montre que N0 =P

A∈T (G:GA) =pu car p|(G:GA).

Si N = N₁ +N₀ = |F| il en résulte que N₁ ≡ Nmodp. Le calcul de N ne dépend pas de la structure de groupe de G et la congruence N ≡ N₁modp est toujours vérifiée pour tout groupe. Calculons donc N1 dans le cas particulier d’un groupe G cyclique. Il n’existe alors qu’une possibilité pour G_A d’ordre pâ. Remarquons enfin que, d’après la définition de F₁, A ∈ F₁ si et seulement si A = G_Aa_i.Utilisant les lemme précédent on a A = G_Ax, A est une classe à droite modulo GA. Il en résulte que N1 = m. Pour un groupe quelconque on a alors N₁ ≡ mmodp. Comme (m, p) = 1 il en résulte que N₁ 6= 0, ce qui montre l’existence d’un groupe d’ordrepâ

Démonstration du second théorème

Soit S unp-sous-groupe de Sylow deG et U={gS, g ∈G}, on a |U|=m

(23)

a/ Si H est un p− groupe de G alors H opère sur U par translation à gauche :(h, gS)7→ hgS la formule des classes pour cette opération donnem =P

gS∈T (H :H_gS).CommeH est unp−

groupe (H :HgS) =p^t^g. Comme (m, p) = 1 il existe un g tel que (H :HgS) = 1 soit H =HgS. Donc∀h ∈H, hgS =gS, ce qui équivaut à h∈ gSg⁻¹. Le sous-groupe H est dans le conjugué gSg⁻¹ dup-sous-groupe de Sylow S.

b/ Appliquons le a/ `a H = S1 un autre p-sous-groupe de Sylow de G. Il existe g tel que S₁ ⊂gSg⁻¹. Comme les deux groupes ont mˆeme cardinalS₁ =gSg⁻¹

c/ On a la congruence N₁ ≡ N ≡ mmodp. D’autre part si A ∈ F₁ alors G_A est un p-sous- groupe de Sylow etF1 est réunion d’ensemble de classes à droite moduloGAdoncN1 =npmoù n_p est le nombre de p-sous-groupe de Sylow de G. Comme (m, p) = 1 m est inversible modulo pet l’égalitém ≡n_pm entraˆıne n_p ≡1 modp.

3.4 Exemples

Exemple 3.9 Tout groupe d’ordre 15est cyclique.

Comme 15 = 5×3, un groupe d’ordre 15 n’a que des p-sous-groupes de Sylow d’ordre 3 et 5. Soit n₃ le nombre de 3-sous-groupe de Sylow alors n₃ divise 5 et est congru `a 1 mod 3.

Les nombres de la forme 1 + 3k, k > 0 ne divisent pas 5 donc n₃ = 1. Il n’y a qu’un seul 3-sous-groupe de Sylow S₃ et il est distingué sans G. Soit n₅ le nombre de 5-sous-groupe de Sylow alors n₅ divise 3 et est congru à 1 mod 5. Les nombres de la forme 1 + 5k, k > 0 ne divisent pas 3 donc n₅ = 1. Il n’y a qu’un seul 5-sous-groupe de Sylow S₅ et il est distingué sans G. De plus comme 3 et 5 sont des nombres premiers les p-sous-groupe de Sylow sont cycliques. Soit x un élément d’ordre 3 engendre S₃ et y d’ordre 5 engendre S₅. Calculons xyx⁻¹y⁻¹ = x(yx⁻¹y⁻¹) = (xyx⁻¹)y⁻¹. Comme S₅ est distingué (xyx⁻¹) ∈ S₅ et xyx⁻¹y⁻¹

∈S₅ On montre de même que x(yx⁻¹y⁻¹)∈S₃. CommeS₃∩S₅ ={e} il en résulte quex ety commutent. L’élément xy est d’ordre 15; en effet (xy)¹⁵=x¹⁵y¹⁵ =e l’ordre de xy divise 15 il n’est ni 3 ni 5 carx⁵ =x² 6=e ety³ 6=e, donc xy est d’ordre 15 et engendre G.

On peut d´emontrer de mˆeme qu’un groupe d’ordre 63 est cyclique.

Exemple 3.10 Tout groupe d’ordre 12 n’est pas simple

Rappelons qu’un groupe est simple s’il ne poss`ede pas de sous-groupe distingu´e.

Comme 12 = 2² ×3, le groupe ne possède que des 2 et 3-sous-groupes de Sylow. Les valeurs possibles pour le nombre de 2-sous-groupe de Sylow sont 1 ou 3 Les valeurs possibles pour le nombre de 3-sous-groupe de Sylow sont 1 ou 4.Si le groupeGa 4 3-sous-groupe de Sylow alors G a 2×4 = 8 éléments d’ordre 3. Le complémentaire de l’ensemble des éléments d’ordre 3 a 12−8 = 4 éléments. C’est nécessairement un 2-sous-groupe de Sylow. Il n’y a dans ce cas qu’un seul 2-sous-groupe de Sylow et il est distingué. Si G n’a qu’un seul 3-sous-groupe de Sylow il est distingué doncG n’est pas simple.

(24)

Chapitre 4

Groupe sym´ etrique et altern´ e

Définition 4.1 L’ensemble des bijections (ou permutations) d’un ensemble E,non vide, muni de la loi de composition des applications (notée ◦) est un groupe appelé groupe symétrique de E et noté S_E. Si E ={1,2..n} le groupe S_E est noté, pour simplifier S_n.

L’élément neutre est l’application identité.

Notation 4.2 Une permutation de Sn est repr´esent´ee par une matrice a deux lignes et n co- lonnes

σ =

1...n σ(1)...σ(n)

L’image du ième élément de la première ligne est le ième élément de la deuxième ligne.

Composition des permutations : si σ= 1...n σ(1)...σ(n)

etτ = 1...n τ(1)...τ(n)

alors σ◦τ(i) =σ(τ(i));

on compose les permutations de droite `a gauche.

Définition 4.3 Une permutation est une transposition s’il existe deux éléments distincts i et j tels que σ(i) =j et σ(j) =i, et σ(k) =k pour k 6=i et k 6=j. Une telle transposition est notée (i, j). C’est un élément d’ordre 2 du groupe Sn.

Définition 4.4 Une permutation σ de S_n est un cycle de longueur k (2≤k ≤n) s’il existe une suite de k éléments distincts c₁, c₂...c_k de [[1..n]] tels que σ(c_i) = c_i+1 pour 1 ≤i≤ k−1, σ(c_k) = c₁ et σ(x) = x si x /∈ {c₁, c₂...c_k}.

Le cycleσ est not´e(c₁, c₂...c_k),l’entier k est la longueur du cycle et l’ensemble{c₁, c₂, .., c_k}.est son support.

Deux cycles sont disjoints si leurs supports sont disjoints.

Ainsiσⁱ(c₁) = c_i+1 si 1≤i≤k−1 et σ^k(c₁) = c₁.

Le cycle σ peut s’´ecrire aussi c₁, σ(c₁), σ²(c₁)..., σ^k−1(c₁) . Remarques : 1/ Un cycle de longueur 2 est une transposition

2/ Il y a k fa¸cons d’´ecrire un cycle (c₁, c₂...c_k) = (c₂, c₃...c_k, c₁) = (c₃, c₄...c_k, c₁, c₂).. = (c_k, c₁, ..ck−1)

3/ L’inverse d’un cycle σ = (c₁, c₂...c_k) est un cycle de mˆeme longueur et de mˆeme support σ⁻¹ = (c₁, c_k, ck−1...c₂) = (c_k, ck−1...c₂, c₁) =...

4/ La longueur d’un cycle est aussi son ordre.