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Introduction ` a la th´eorie de l’informatique

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Academic year: 2022

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(1)

Introduction ` a la th´eorie de l’informatique

R´ ep´ etition 11

Ann´ ee acad´ emique 2013-2014

1. Trouvez une solution analytique pour les r´ecurrences suivantes (sans utiliser les fonctions g´en´eratrices) :

(a) • x0 = 0

• x1 = 1

• xn= 5xn−1−6xn−2 + 6 (avecn >1).

(b) • x0 = 0

• x1 = 1

• xn= 3xn−1−2xn−2 +n (avec n >1).

2. Trouvez une solution analytique pour les fonctions g´en´eratrices cor- respondant aux s´equences ou sommes suivantes :

(a) h0,0,0,1,2,0,8,16,32,64, . . .i; (b) h1,3,5,7,9,11, . . .i.

(c) F(x) =P∞

n=0(n2−4)xn (d) F(x) =P∞

n=0(n+ 2)5n/2xn; (e) F(x) =P∞

n=0fnxn, o`u fn =Pn

i=1i(i−1)

3. Soit la fonctionf :N→Nd´efinie r´ecursivement comme suit :

• f(0) = 1 ;

• f(1) = 6 ;

• f(n) = 2f(n−1) + 3f(n−2) + 4.

(a) Trouvez une solution analytique pour la fonction g´en´eratrice sui- vante :

G(x) =

∞

X

n=0

f(n)xn.

1

(2)

(b) Trouvez une solution analytique pour f(n).

Suggestion : Trouveza, b, c, d, e, g tels que G(x) = a

1 +dx + b

1 +ex+ c 1 +gx.

2

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