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Introduction ` a la th´eorie de l’informatique

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Academic year: 2022

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Introduction ` a la th´eorie de l’informatique

R´ ep´ etition 1

Ann´ ee acad´ emique 2011-2012

1. Soit F, l’ensemble des fonctions `a une variable r´eelle, d´efini comme suit :

– IdR(x) = x, les fonctions constantes et sin(x) sont dansF. – Si f etg sont dans F, alors les fonctions

– f +g,f g, ef,

– la fonction r´eciproque f(−1) def, et – f ◦g

sont ´egalement dans F.

Par induction structurelle, d´emontrez queF est ferm´e par rapport `a la d´eriv´ee, i.e., que pour toute fonction f, sif ∈F, alors f0 ∈F.

2. Soienta, b, c, d∈Z. D´emontrez ou infirmez les propositions suivantes : (a) Sia |b et si a|c, alorsa |(b+c).

(b) Siab|cd, alorsa |coua |d.

3. D´emontrez que, pour toutn ∈N, il existe au moins une s´equence de n nombres non-premiers cons´ecutifs.

4. D´emontrez que sip,q etrsont des nombres premiers distincts, il existe a, b, c∈Z tels que a(pq) +b(qr) +c(rp) = 1.

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