Introduction ` a la th´eorie de l’informatique
R´ ep´ etition 7
Ann´ ee acad´ emique 2013-2014
1. Dans le raisonnement suivant, o`u se trouve l’erreur ?
Faux th´eor`eme. Soit G = (V, E), avec |V| ≥ 3, un graphe dont tous les sommets sont au moins de degr´e 2. Le graphe G contient un cycle de longueur 3.
Fausse d´emonstration. La d´emonstration fonctionne par induc- tion sur le nombre de sommets.
Cas de base : Si|V|= 3, le th´eor`eme est vrai. En effet, n’importe quel graphe avec 3 sommets de degr´es sup´erieurs ou ´egaux `a 2 est n´ecessairement un cycle de longueur 3.
Cas inductif :SoitGun graphe densommets pour lequel le th´eor`eme est vrai. On construit un nouveau grapheG0en ajoutant `aGun nou- veau sommet et au moins 2 arˆetes incidentes `a ce sommet. Puisque G contient un cycle de longueur 3, G0 contient aussi un cycle de longueur 3.
Par induction, le th´eor`eme est vrai pour tout graphe dont le nombre de sommets est sup´erieur ou ´egal `a 3.
2. Soit G un graphe dont tous les sommets sont au moins de degr´e d.
D´emontrez que Gcontient un chemin de longueur d.
3. SoitG un graphe. D´emontrez que
(a) si tous les sommets deGsont de degr´e 2, alorsGcontient un cycle.
(b) si G est non connexe, alors son compl´ement est connexe.
Remarque : le compl´ement d’un graphe (V, E) est le graphe (V,{{x, y} |x, y ∈V ∧x6=y} \E}).
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