Graphes i6s3 Licence L3 Info Universit´e de Bourgogne
TD1 : coloration de graphes
Exercice 1-
1) Trouver un graphe Gpour lequelω(G)> α(G)n . 2) Trouver un graphe Gpour lequelω(G)< α(G)n . 3) Trouver un graphe Gpour lequelω(G) = α(G)n . 4) Trouver un graphe Gpour lequelω(G) = ∆(G) + 1.
Exercice 2- Algorithmes
1) Montrer que pour tout grapheG, il est possible d’ordonner les sommets deGde fa¸con telle que l’algorithme glouton produise une coloration de Gutilisantχ(G) couleurs.
2) Pour toutn >1, trouver un graphe biparti `a 2nsommets ordonn´es de fa¸con que l’algorithme glouton utilisen plutˆot que 2 couleurs.
3) Ecrire un algorithme qui teste si un graphe est de nombre chromatique 2 (ou, de fa¸con´
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equivalente, si le graphe est biparti).
Exercice 3- Graphes planaires et formule d’Euler
La formule d’Euler dit que pour tout graphe planaire dessin´e sur le plan sans croisements d’arˆetes, on av−e+f = 2, o`uv est le nombre de sommets,ele nombre d’arˆetes etf le nombre de faces.
1) En utilisant la formule d’Euler, montrer que le grapheK5 n’est pas planaire.
2) En utilisant la formule d’Euler, montrer que le grapheK3,3 n’est pas planaire.
3) Montrer qu’un graphe planaire `a n sommets,n≥3, ne contenant pas de triangles, poss`ede au maximum 2n−4 arˆetes.
4) En utilisant la formule d’Euler, montrer qu’un ballon de football, compos´e d’hexagones et de pentagones, contient n´ecessairement 12 pentagones.
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