Problème de l'explorateur
Unexplorateur souhaiteexplorer touteslesroutes entre un ertainnombre de
villes.Peut-ontrouverun itinérairequipassepar haque routeune seulefois?
Ce problèmesetraduitaisémentdanslelangagedes graphes:peut-ontrouver
un hemin passantune et une seule fois par haque arête d'un graphe?
Étantdonné que ette questionest étroitement liéeauproblème des ponts de
Könisberg et que Euler y est historiquement assoié, on pose les dénitions
suivantes.
Un hemin d'un graphe G est appelé hemin eulériens'il passe une et une
seule fois par haque arêtedu graphe.
Un grapheG est un graphe eulériens'il admetun hemin eulérienfermé.
UngrapheGest semi-eulériens'iln'est paseulérienets'iladmetun hemin
eulérienouvert.
Remarque Ungrapheeulérienousemi-eulérienest néessairementonnexe.
Exemples Les trois graphes i-dessous sont respetivement eulérien, semi-
eulérienet non eulérien.
1) 2) 3)
Théorème Un graphe est eulérien si et seulement si il est onnexe et tous
ses sommets sont de degré pair.
Preuve Supposons qu'un graphe G soit eulérien. Il existe alors un hemin
fermé parourant une et une seule fois haque arête.
Le grapheG est don onnexe, puisque relie tous les sommetsentre eux.
Considérons un sommet x. Lors du parours du yle, àhaque fois que nous
passons par lui, nous y arrivons et nous en repartons par 2 arêtes non enore
parourues. Lesommet x est don de degré pair.
Réiproquement,onsidéronsungrapheGonnexedonttouslessommetssont
de degré pair. Nous allons montrer par réurrene sur lenombre d'arêtes que
implique qu'ilexiste un yle ' sur G.
ConsidéronslegraphepartielH onstitué des arêtesen dehorsdu yle '. Les
sommetsde Hsontégalementde degrépair,leyle ontenantunnombrepair
d'arêtes inidentes pour haque sommet.Parhypothèsede réurrene, haque
omposanteonnexe H
i
de H est un grapheeulérienetadmet donun hemin
eulérienfermé '
i .
' '
1
'
2
'
3 '
4
Le yle ', représenté en trait tillé, dénit
4 omposantes onnexes pour le graphe H,
dont2sommetsisoléspourlesquelsleuryle
eulérienestsansarête.
Les èhes symbolisent l'opération de fusion
des2ylesnonvidesave'.
Pour reonstruire un hemin eulérien fermé sur G, il nous sut de fusionner
leyle 'ave lesdiérentsyles '
i
. Pour ela,onparourt leyle 'depuis
un sommetarbitraire;lorsque l'on renontre pour lapremière fois un sommet
appartenant à H
i
, on lui substitue le hemin eulérien fermé '
i
. Le hemin
obtenu est un hemin eulérien fermé pour G, le yle ' et les hemins '
i
formantune partition des arêtes.
Corollaire Un graphe est semi-eulérien si et seulement si il est onnexe et
s'ila exatement deux sommets de degré impair.
Dans e as, le hemin eulérienouvert joint es deux sommets.
4.1 Justier que les graphes des exemples de la page préédente sont respetive-
menteulérien, semi-eulérienet non eulérien.
4.2 Parmilesgraphessuivants,déterminereuxquisonteulériensousemi-eulériens
etpréiser un hemin orrespondant.
1)
a
d b
e
2)
d a
b
3)
u v
w
x y
z
l'autre.
1) 2) 3)
4.4 Déterminer si les graphes suivants sont eulériens, semi-eulériens ou ni l'un ni
l'autre.
1) 2)
3) 4)
4.5 Déterminer si les graphes suivants sont eulériens, semi-eulériens ou ni l'un ni
l'autre.
1) 2) 3)
4) 5) 6)
7) 8) 9)
Est-il possible de parourir haque pont une fois et une seule fois lors d'une
baladedans ette ville?
Algorithme de Fleury
Il existe un algorithme pour déterminer les hemins eulériens dans un graphe
eulérien. L'idée est de parourir le graphe en supprimant toutes les arêtes
traversées,maisenévitantautantquepossiblederendrelegraphenononnexe.
Une arête ab d'un graphe G est appelée un pont si ab est l'unique hemin
entre les sommetsa et b.
Dans un grapheeulérien, l'algorithmede Fleury permettoujours d'obtenir
un hemin eulérien fermé :
Commenerà partir de n'importe quelsommet etparourir lesarêtes arbi-
trairement en respetant les règlessuivantes :
Supprimer lesarêtes parourues; auas où apparaîtun sommet isolé, sup-
primere sommet.
À haque étape,n'utiliser un pont que s'iln'y apas d'autrealternative.
4.7 Utiliserl'algorithmede Fleury pour trouverunhemineulérienouvert dans le
graphesuivant :
dans le graphesuivant :
départ
4.9 Utiliserl'algorithmedeFleurypourtrouveraumoinsunhemineulérienfermé
dans le graphesuivant :
13
14 15
16 9
10
11
12 5
6 7
8 1
2
3
4
4.10 Vous êtes un agent de polie et laarte des routes de votre seteur est repré-
sentée i-dessous.
Est-il possible de patrouiller sur haune de es routes sans parourir auune
d'elles plus d'une fois?
4.2 1) semi-eulérien abdaeb
2) nieulérien, ni semi-eulérien
3) eulérien uvzuyzxywxvwu
4.3 1) eulérien 2) semi-eulérien 3) ni eulérien, ni
semi-eulérien
4.4 1) eulérien 2) ni eulérien, nisemi-eulérien
3) eulérien 4) ni eulérien, nisemi-eulérien
4.5 1) semi-eulérien 2) semi-eulérien
3) ni eulérien, ni semi-eulérien 4) eulérien
5) semi-eulérien 6) nieulérien, nisemi-eulérien
7) semi-eulérien 8) nieulérien, nisemi-eulérien
9) semi-eulérien
4.6 oui
4.7
a
b
d e f g
h
i
j
k l
m n o
p
q
4.8
a
b d
e f
g h i j
k l
4.9
14 15
9
10
11
5
6 7
8 1
2
3
4 a
b
d g
h i
j
k
l
m n o p
q
r
s
t
w x
y
z
