Problème du voyageur
Auhapitrepréédent,nousavonsexaminéetrésoluleproblèmede l'existene
d'un hemin passant une et une seule fois par haune des arêtes d'ungraphe
donné. Nous allons analyser le problème orrespondant pour les sommets :
dansun graphedonné,existe-t-ilun heminquipasseune etune seulefoispar
haun de ses sommets?
Nous retrouvons là la forme élémentaire du problème du voyageur de om-
mere. De manière surprenante, e problème s'avère beauoup plus diile
que elui de l'explorateur.
Vers 1850, le mathématiien WilliamHamilton (1805-1865) a tenté de popu-
lariser, malheureusement sans suès ommerial,un asse-tête qu'il a appelé
the iosiangame .L'idée de e jeu est illustrée dans legraphe i-dessous.
Q
N
L J
X
R
S
T V
W
F D C B
G
P
M
K H
Z
Le graphe modélise l'itinéraire d'un voyage autour de la Terre où 20 villes
doiventêtrevisitées.Partantdel'unedesvingtvilles,levoyageurdoityrevenir
en ayant visité haque ville une seule fois. Plus préisément, le jeu onsiste à
imposerlesinqpremièresvillesàvisiteretàdemanderaujoueurdeompléter
l'itinéraire. Par exemple, si l'on ommene par les villes BCPNM, on peut
remarquerqu'ilyaexatementdeuxvoyagesréalisantlesonditionsimposées:
BCPNMDFKLTS RQZXWVJHGB
BCPNMDFGHXWVJKLTSRQZB
Unylehamiltoniend'ungrapheGestunylequiontienthaquesommet
de G.
Un grapheest hamiltoniens'ilontientun yle hamiltonien.
Un hemin hamiltonien est un hemin simple ouvert qui ontient haque
sommetde G.
Un graphe non hamiltonien est semi-hamiltonien s'il ontient un hemin
hamiltonien.
pas le aratère hamiltonien d'un graphe, puisque l'on peut les ignorer en
herhant un hemin quivisite haque sommet.
Exemples Lestroisgraphesi-dessoussontrespetivementhamiltonien,semi-
hamiltonien etnon hamiltonien.
1) 2) 3)
Le graphe i-dessous est hamiltonien;on le voit en onsidérant, par exemple,
le yle hamiltoniendessiné en gras :
5.1 Trouver un autre iruit hamiltoniendans le iosian game .
5.2 Montrer que legraphe i-dessous est hamiltonienen exhibant un yle hamil-
tonien.
Àpremièrevue,leproblème desavoirsiun grapheest hamiltoniensembletrès
prohedeeluidesavoirsiungrapheesteulérien.Onpourraitespérerrésoudre
e problème d'une manière aussi satisfaisante que pour les graphes eulériens.
Danslehapitrepréédent,nousavonsformuléunritèrepourl'existened'un
hemin eulérien ledegré de haque sommet doit être pair et nous avons
même proposé, lorsque ette ondition est vériée, un algorithme permettant
de onstruire le hemin herhé.
Malheureusement,lasolutionduproblèmeorrespondantpourunyle hamil-
tonienest beauoup plusdiile.Enfait,dansleas d'un graphequelonque,
il n'y a toujours pas de ritères, 'est-à-dire de onditions néessaires et su-
santes assurant l'existene d'un yle oud'un hemin hamiltonien. Cela reste
des onditions néessaires, 'est-à-diredes onditions que toutgraphe doit sa-
tisfairepourêtrehamiltonien;lesautresonstituentdesonditionssusantes,
'est-à-dire des onditions qui assurent qu'un graphe est hamiltonien.
Conditions susantes pour qu'un graphe soit hamiltonien
Un graphe est omplet lorsque deux sommets quelonques sont reliés par
exatement une arête.Le graphe ompletd'ordren senote K
n .
Exemples
K
4
K
5
Trouver un yle hamiltonien dans un graphe omplet K
n
(n > 2) est très
simple. On peut proéder à partir de n'importe quel sommet. Comme toutes
les arêtes possibles sont présentes, on peut toujours passer de n'importe quel
sommetà n'importe quelautre diretement. Laonstrutionse faitde prohe
en prohe.
5.3 1) Quel est lenombre d'arêtes du graphe K
n
?
2) Combien de yles hamiltoniensdistints y a-t-ildans K
n
?
La plupart des théorèmes qui expriment une ondition susante pour qu'un
grapheG soithamiltonien sont de laforme: siGa assez d'arêtes, alorsG
est hamiltonien.
Théorème d'Ore (1960)
Soit G un graphe simple ave n > 3 sommets. Si deg(u)+deg (v) > n pour
toute paire de sommetsu et v non voisins, alors Gest hamiltonien.
Preuve Parl'absurde, supposons lethéorème faux.
Ilexistedonungraphenonhamiltoniendensommetssatisfaisantlaondition
d'Ore :deg(u)+deg(v)>n pour toute paire de sommetsu etv non voisins.
En ajoutant des arêtes supplémentaires e qui ne perturbe pas l'inégalité
d'Ore on peut trouver un nouveau graphe G
?
qui soit à peine non
hamiltonien dans le sens suivant : l'adjontion d'une nouvelle arête le ren-
drait hamiltonien.Quitteàrenuméroter lessommetsde G
?
, ils'ensuitqueG
?
possède un heminu=v
1 ::: v
n
=v passant par haque sommet.
Puisque G est non hamiltonien, les sommets u et v ne sont pas voisins et
satisfontla ondition d'Ore :deg (u)+deg(v)>n.
Désignons par N(u) l'ensemble de tous les sommets voisins de u et par N(v)
l'ensemblede tous lessommets voisins de v.
Siv
i
2N(u), alorsv
i 1
= 2N(v).
En eet, si e n'était pas le as, v
1 v
2 ::: v
i 1 v
n v
n 1 v
n 2 ::: v
i+1 v
i v
1 serait
un yle hamiltoniendans G
?
, ommel'illustre lagure i-dessous.
v
1
=u v
2 v
3
v
i 1 v
i v
i+1
v
n 2 v
n 1 v
n
=v
Ainsi, pour haque sommet voisin de u, il existe un sommet de V fvg non
voisinde v. Maisalors,deg(v)6(n 1) deg(u)dans G
?
:en eet, parmi les
n 1 sommets de G distints de v, au moins deg (u) d'entre eux ne sont pas
voisins de v.
Il en résultedeg(u)+deg(v)6n 1,e qui vient ontredire l'inégalitéd'Ore.
Corollaire : théorème de Dira (1952)
Soit G un graphe simple ave n > 3 sommets. Si deg(v) >
n
2
pour haque
sommet,alors G est hamiltonien.
5.4 Démontrer lethéorème de Diraà partir du théorème d'Ore.
Exemples
1) Pour le graphe i-ontre, on a n = 6 et
deg(v) =3 pour haque sommet v. Le théo-
rème de Dira s'applique don et le graphe
est hamiltonien.
2)
w Dans le graphe i-ontre, on a n = 5 et
deg(w) = 2. Le théorème de Dira ne s'ap-
plique don pas.
Par ontre, on a deg(u)+deg(v) > 5 pour
toutepairede sommetsnonvoisins.Lethéo-
rèmed'Ores'applique,de sortequelegraphe
est hamiltonien.
Cetexemplemontrelaplusgrandegénéralité
de la ondition d'Ore.
Commençonspar énoner les règlesfondées sur le faitque tout yle hamilto-
nien doit ontenir exatement deux arêtes par sommet.
Proposition Pour qu'un graphe G soit hamiltonien, il faut que les règles
i-dessous soientvériées.
Règle 1 Pour tout sommet v de G, ondoit avoir deg(v)>2.
Règle 2 Siun sommetv est de degré2,lesdeux arêtespassantpar v doivent
être inluses dans tout yle hamiltonien.
Règle 3 Unyle hamiltonien ne peut pas ontenir de sous-yle; autrement
dit, au ours de la onstrution d'un yle hamiltonien, auun yle ne
peut être formé avant que tous lessommets aient été visités.
Règle 4 Si, au ours de la onstrution d'un yle hamiltonien, deux arêtes
passantparun sommetv s'imposent,touteslesautresarêtespassantpar
e sommet devront être supprimées.
5.5 1) Montrerqu'unylehamiltonienesttoujoursdelongueurn,oùn =jV j =
nombre de sommets.
Indiation: utiliserlelemme despoignéesdemains.
2) Justier la règle 3 : un yle hamiltonien ne peut pas ontenir de sous-
yle.
Indiation: utiliserlerésultatdel'exerie3.5.
5.6 Expliquer pourquoi les graphessuivants ne sont pas hamiltoniens.
1) a
b
d e
f
g
h
i 2)
a
b
d
e
f
g
h
Cesrègles,qui sontdes onditionsnéessairesàl'existene d'unyle hamilto-
nien,sontsurtoutemployéesquand ils'agitdemontrerqu'un graphen'estpas
hamiltonien.Lastratégieonsisteàessayerde onstruireun yle hamiltonien
etde montrer qu'àune ertaine étape, ilest impossibled'aller plus loin.
Exemple Montrons que le graphede Petersen n'est pas hamiltonien.
1
2
3 4
5
6
7 8
9
10 11
12
13 14
15 rote lesarêtes plutt que lessommets.
Lastratégieonsisteàessayerdeonstruireunyle
hamiltonien en exploitant la symétrie du graphe
pour éliminer ertaines arêtes. La onstrution en
plusieursétapesonduira àune ontradition.
Supposonsparl'absurdequelegraphesoithamilto-
nien. À ause de la règle 3,onne peut pas prendre
toutes lesarêtes de 1 à 5.
2
3 4
5
6
7 8
9
10 11
12
13 14
15
v Pour des raisons de symétrie, le hoix de elle qui
est supprimée est sans importane. Supposons que
e soitl'arête1.Lesarêtes5et11,de mêmequeles
arêtes 2 et 12, doivent faire partie du yle hamil-
tonien, en vertu de la règle 2.
2
3 4
5
6
7 8
9
10 11
12
14 15
v Une des arêtes 3 ou 4 au moins (voire les deux)
doit être inluse, sinon le sommet v serait de de-
gré 1, enfreignant la règle 1. Par symétrie, hoisis-
sons l'arête 3.
La règle 4 stipule alors que l'on peut supprimer
l'arête 13.
2
3 4
5
6
7 8
9 11
12
14 15
Les arêtes 6 et 7 doivent être inluses (règle 2) et
l'arête 10exlue (règle 4).
2
3 5
6
7 9 11
12
14 15 Les arêtes 9 et 14 doivent être inluses(règle 2) et
lesarêtes 4 et8 exlues (règle 4).
Enn, l'arête 15doit être omprise(règle 2).
Notreonstrutiond'unylehamiltoniendébouhe
nalement en deux sous-yles, e qui ontredit la
règle 3. C'est pourquoi le graphe de Petersen n'est
pas hamiltonien.
Soit v un sommet d'ungraphe G. Considéronsle sous-grapheG de G obtenu
en supprimant lesommet v ainsi quetoutes lesarêtes de Gpassantpar v.
Un sommet v est appelé un point d'artiulation si sasuppression déon-
nete le graphe.
Remarquons qu'il s'agit d'une opération analogue à elle de l'algorithme de
Fleury. De la même manière, on s'intéresse aux sommets qui, lorsqu'on les
supprime, rendent legraphe G 0
non onnexe.
Exemple Dans le graphei-dessous, v est un point d'artiulation.
v
Théorème Ungraphe hamiltonienn'admet auunpointd'artiulation.
Preuve La suppression d'un sommet au yle hamiltonien laisse tous les
autres sommetssur une mêmehaîneonservant la onnexitéde G.
5.7 Parmi les graphes suivants,déterminer eux quisont hamiltonienset trouver,
le as éhéant, un yle hamiltonien.
1)
D A
B C
2)
A
B
C D
E
3) A B
C D
E F
G H
4) A
B C
F
D E
5)
A B C
E F
G
6)
A
C
B
D
5.8 Déterminerles graphes hamiltoniens :
1) 2) 3)
5.10 Donner un exemple omportant aumoins six sommetsde haundes graphes
suivants:
1) un graphe hamiltonienqui n'est pas eulérien;
2) un graphe eulérienqui n'est pas hamiltonien.
Réponses
5.1
5.2
5.3 1)
n(n 1)
2
2)
(n 1)!
2
5.7 1) hamiltonien: ABCDA
2) hamiltonien: ABCDEA
3) hamiltonien: AEFBCGHDA
4) hamiltonien: ABCDFEA
5) hamiltonien: AECFBGA
6) hamiltonien: ABDCA
