Sup PCSI2 — Devoir 2004/08
IL’in´egalit´e deBernoulliaffirme que (1 +a)n>1 +napour a>0 etn>2.
Q1 Donnez deuxpreuves diff´erentes de cette in´egalit´e.
Q2 Nous supposons toujours a>0 etn>2. Montrez que (1 +a)n= 1 +nasi et seulement sia= 0 ISoitAune partie deN∗ v´erifiant les propri´et´es suivantes :
(1) le nombre 1 appartient `aA;
(2) sinappartient `aA, alors 2nappartient `aA; (3) sin>2 appartient `aA, alorsn−1 appartient `aA.
IMontrons que le nombre 3 appartient `aA:
1∈Ad’apr`es (1)⇒2∈A d’apr`es (2)⇒4∈Ad’apr`es (2)⇒3∈Ad’apr`es (3) Q3 En vous inspirant de l’exemple pr´ec´edent, montrez que 19 appartient `aA.
IPourk∈N, notonsP(k) l’assertion suivante : [[1,2k]]⊂A . Q4 Montrez que P(k) impliqueP(k+ 1).
Q5 En d´eduire queP(k) est vraie pour toutk∈N. Q6 En d´eduire A=N∗.
ISoientn>1 etx1, . . . , xn des r´eels strictement positifs. L’in´egalit´e deCauchyaffirme que : 1
n X
16k6n
xk
n
> Y
16k6n
xk
Q7 Prouvez cette in´egalit´e lorsquen= 2.
Q8 ´Etudiez le cas d’´egalit´e lorsquen= 2.
INous nous proposons de d´emontrer l’in´egalit´e de Cauchy dans le cas g´en´eral. Notons B l’ensemble des valeurs den>1 pour lesquelles l’in´egalit´e deCauchyest vraie. Il est clair que 1 (et 2, d’apr`es la question 7) appartient `aB.
Q9 Supposons que n > 1 appartient `a B. Montrez que 2n appartient lui aussi `a B; pour ce faire, vous remarquerez que 1
2n X
16k62n
xk =mg+md
2 , o`umg = 1 n
X
16k6n
xk et md= 1 n
X
n+16k62n
xk.
Q10 Soient n > 2 et x1, . . . , xn−1 des r´eels strictement positifs. Notons xn = 1 n−1
X
16k6n−1
xk. Montrez que 1
n X
16k6n
xk=xn.
Q11 Supposons quen>2 appartient `aB. Utilisez la question pr´ec´edente pour montrer quen−1 appartient lui aussi `aB.
Q12 Concluez !
Q13 Proposez une interpr´etation g´eom´etrique de l’in´egalit´e deCauchydans le casn= 3.
[Devoir 2004/08] Compos´e le 7 mars 2006
