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L’´egalit´e sur laquelle tu bases ton approche est de la forme (1) Xd

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

L’´egalit´e sur laquelle tu bases ton approche est de la forme (1) Xd(n)−Xa(n) =E(n/4)−Π(n) +δ(n)

o`uδ(n) est un petit terme d’erreur major´e par 2. Icinest un entier pairXd(n) est le nombre de d´ecompositions en somme de deux d´ecomposables impairs et Xa(n) en somme de deux nombres premiers (impairs). J’ai d’abord v´erifi´e avec l’ordi que c’est bien vrai et en fait le δ(n) vaut bien 0, 1 o`u 2. J’ai bien compris aussi ce que tu essayes de faire dans les sections 6.5 et 6.6.

Mais je crois avoir compris la raison de l’´egalit´e (1) et pourquoi on ne peut rien en conclure. En effet, pournfix´e, soitJ l’ensemble des nombres impairs entre 1 et n/2 et consid´erons les deux sous-ensembles deJ :

P ={j∈J |j premier}, Q={j∈J |n−j premier}

Alors je pr´etends que (1) r´esulte du fait tr`es g´en´eral sur des sous-ensembles quel- conques et les cardinalit´es d’intersection et r´eunion :

(2) #(P∪Q) + #(P∩Q) = #(P) + #(Q) Ici (en n´egligeant les cas limites qui contribuent `aδ(n)) on voit que

(1) #(P∩Q) correspond `a Xa(n).

(2) #(P∪Q) correspond `a E(n/4)−Xd(n).

(3) #(P) + #(Q) correspond `aΠ(n).

On a donc une preuve tr`es simple de (1) comme cons´equence de (2). (Je ne me suis pas pr´eoccup´e des cas limites mais ils ne contribuent au plus que par un 2, ce qui explique la pr´esence duδ(n)).

Mais on voit que dans le cas crucial qui est celui o`u P et Q sont disjoints on n’apprend rien `a partir de (1).

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