IN´ EGALIT´ ES Exercice 12. ( )

Feuille d’exercices n 1 - FONCTIONS D’UNE VARIABLE R ´ EELLE

IN´ EGALIT´ ES Exercice 12. ( )

R´ esoudre, dans R , les ´ equations ou in´ equations suivantes : 1. x 1 ?

x 2 2. ?

x ² 2x ?

2x 3   0 3. ?

x 4 ?

x 2 1

4. |3 x| x 1 5. |x 4| ¤ |2x 1|

6.

x 1 x 3

¤ 2

Exercice 13. ( )

D´ emontrer l’in´ egalit´ e « classique » : @pa, bq P R ² , |ab| ¤ a ² b ²

2 .

Exercice 14. ( )

Montrer que si x et y sont deux r´ eels positifs tels que x ¥ y alors :

? x y ¤ ?

x ?

y et ? x ?

y ¤ ?

x y ¤ ?

x ?

y Exercice 15. ( )

Montrer que pour tout x, y P R, |x| |y| ¤ |x y| |x y|.

G´ EN´ ERALIT´ ES SUR LES FONCTIONS Exercice 16. ()

D´ eterminer le domaine de d´ efinition des fonctions ci-dessous et leur parit´ e, ainsi que leur p´ eriodicit´ e. (ne cherchez pas ` a prouver qu’elles ne sont PAS p´ eriodique...)

1. fpxq x ³ x 2. g p x q sin x cos x sin x

3. hpxq ? x ² 1 Exercice 17. ( )

On consid` ere la fonction : f : R Ñ R

x ÞÑ sinpxq cos ² pxq

1. Montrer qu’il suffit d’´ etudier f sur r 0, π s et expliquer comment obtenir toute la courbe repr´ esentative de f ` a partir de cette ´ etude.

2. Pour x dans R, calculer fpπ xq. Peut-on alors r´ eduire l’intervalle d’´ etude ?

Exercice 18. ( ) On pose f p x q ln p ?

x ² 1 x q .

1. D´ eterminer l’ensemble de d´ efinition de la fonction f . 2. Montrer que la fonction f est impaire.

3. ´ Etudier les variations de la fonction f.

Exercice 19. ₍₎

Sans n´ ecessairement en faire l’´ etude pr´ ecise, les fonctions suivantes sont-elles major´ ees ? Minor´ ees ? Born´ ees ? Justifier.

1. f p x q e ^x sin x sur R 2. g p x q 2 sin p x q 3 cos p x ² q

1 e ^x sur R

3. h p x q p 1 sin x q ln p 1 x ² q 4. v p x q x a

x sur R (o` u a P R ) Exercice 20. ( )

Soit f : x Ñ 2x 1 3x 2 .

1. Donner le domaine de d´ efinition de f .

2. Justifier que f est une bijection entre deux ensembles ` a pr´ eciser.

3. Calculer f f et en d´ eduire sa bijection r´ eciproque.

4. On dit dans ce cas que f est une involution. En connaissez vous 3 autres ? CALCUL DE LIMITES

Exercice 21. ( ) D´ eterminer les limites de :

1. f 1 : x ÞÑ 1 5x

5 x en 5, 8 et 8

2. f ₂ : x ÞÑ 3x ² x 2

x ⁴ 1 en 8 , 8 et 1 3. f ₃ : x ÞÑ

c x ³

1 x en 8 et 8 4. f 4 : x ÞÑ ?

x ² 4x 1 x 2 en 8

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Exercice 22. ( )

1. Calculer la limite en 0 de f : x ÞÑ sin p x q x . En d´ eduire la limite en 1 de g : x ÞÑ sin p πx q

x 1 . 2. Calculer la limite en 0 de h : x ÞÑ

? 1 x 1

x .

3. lim

x Ñ 8

ln p 1 x q lnpxq . Exercice 23. ( )

1. ´ Etudier les branches infinies de la fonction g : x ÞÑ ^2x _x

^x 1 ¹ d´ efinie sur R . (c’est ` a dire les ´ eventuelles asymptotes obliques ` a la courbe de g.)

2. D´ eterminer la position de la courbe repr´ esentative de g par rapport ` a l’asymptote.

PROUVER DES IN´ EGALIT´ ES Exercice 24. ( )

D´ emontrer l’in´ egalit´ e « classique » : @ x P R , e ^x ¥ 1 x.

Exercice 25. ( )

D´ emontrer l’in´ egalit´ e « classique » : @ x Ps 1, 8r , ln p 1 x q ¤ x.

Exercice 26. ( )

D´ emontrer l’in´ egalit´ e « classique » : @ x P R , | sin p x q| ¤ | x | . Exercice 27. ( )

On veut montrer que :

@ x P R z t 1 u , x ln p x q x ² 1   1

2 1. Calculer la d´ eriv´ ee de la fonction φ p x q x ² 1

2x ln p x q . 2. En d´ eduire l’in´ egalit´ e demand´ ee.

D´ ERIVATION Exercice 28. ( )

Donner l’ensemble de d´ efinition, justifier la d´ erivabilit´ e et calculer les d´ eriv´ ees des fonctions suivantes :

a) f p x q ln p 2 cos p x qq b) g p x q exp

1 x ²

c) h ln cos d) ipxq a

1 lnp1 xq e) jpxq ln ln x

f) kpxq sin

ln

e ^2x 1 e ^2x 3

Exercice 29. ( )

Soit f la fonction d´ efinie sur R par f p x q sin x x .

1. Montrer que f r´ ealise une bijection de s 0, π s vers r 0, 1 r . On note f ¹ la r´ eciproque de f restreinte ` a s 0, π s . 2. Indiquer le sens de variation de f ¹ .

3. Justifier que f ¹ est d´ erivable sur r 0, 1 r et calculer sa d´ eriv´ ee en 0.

Exercice 30. ( )

Pour λ P R , on pose f _λ p x q x λ x ² 1 .

1. Montrer que toutes les tangentes aux courbes de f _λ en x 0 sont parall` eles.

2. Observer que les toutes les tangentes au point d’abscisse x 1 sont concou- rantes.

ETUDE COMPL` ´ ETE DE FONCTION Exercice 31. ( )

On souhaite ´ etudier la fonction f p x q x exp 2x

x ² 1

. 1. Donner son ensemble de d´ efinition.

2. Montrer que f est d´ erivable sur D _f et calculer sa d´ eriv´ ee.

3. Montrer que :

x ⁴ 2x ³ 2x ² 2x 1 x ² p 1 ?

5 q x 1

x ² p 1 ?

5 q x 1 et en d´ eduire le tableau de variation de f . Justifier les limites.

4. ´ Etudier les asymptotes et prouver l’existence d’une branche infinie. () 5. Tracer le graphe de la fonction f ainsi que les ´ eventuelles asymptotes.

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