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TD R´ evisions
Exercice 1. On se place dans l’espace, muni de son rep`ere orthonorm´e canonique (0,−→ i ,−→
j ,−→ k). On d´efinit les points A(1,2,3), B(0,−1,5) etC(1,4,9).
1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas align´es. On note P le plan d´efini par ces trois points.
2. Donner deux vecteurs directeurs de P.
3. Donner un vecteur normal `a P.
4. D´eterminer une ´equation cart´esienne deP.
5. Le point de coordonn´ees (2,−4,6) appartient-il `a P? Et le point (1,1,0) ?
Exercice 2. Etudier les fonctions suivantes : domaine de d´´ efinition, ´eventuelle parit´e ou p´eriodicit´e, d´eriv´ee, variations et extrema, limites, esquisse du graphe.
1. f :x7→ln(1 + cos(x)).
2. g:x7→ ex x2+ 1.
3. h:x7→arctan(x3−2x+ 1).
Exercice 3. Pour chacun des polynˆomes suivants, d´eterminer les racines dansCet la forme factoris´ee : 1. P(X) =X2−3X+ 1.
2. Q(X) = 2X2−5X+ 7.
3. R(X) =X2+ (1−3i)X− 3
4i+ 3
. 4. S(X) =X3+X2+ 5X−7.
Exercice 4. D´eterminer les primitives des fonctions suivantes : 1. x7→ 3x2−2
x3−2x+ 1. 2. x7→x3ex2. 3. x7→x2sin(x).
4. x7→xln(x).
5. x7→ 2
3x2+ 2x+ 1.
6. x7→ 1
2x2+ 3x+ 1.
Exercice 5. Montrer successivement les in´egalit´es suivantes, pour tout x∈R: 1. |sin(x)| ≤ |x|.
2. 0≤1−cos(x)≤ x2 2 . 3. |x−sin(x)| ≤ |x3|
6 . Exercice 6. Calculer :
1. le DL `a l’ordre 3 en 0 de la fonctionx7→esin(x)−√ 1 +x.
2. le DL `a l’ordre 4 en 0 de la fonctionx7→cos(x)·ln(1 + 3x).
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3. le DL `a l’ordre 5 en 0 de la fonctonx7→ x2−1 3 +x . 4. le DL `a l’ordre 4 en 3 de la fonctionx7→ln(x)− 2
x.
Exercice 7. 1. D´eterminer la limite de la fonctionx7→ ln(cos(x))−exp(x22) + 1
x4 en 0.
2. D´eterminer l’´equation de la tangente au graphe de la fonction x7→p
ln(e+x) enx= 0, ainsi que la position du graphe par rapport `a cette tangente au voisinage de x= 0.
Exercice 8. Pour les fonctions suivantes, d´eterminer l’ensemble de d´efinition, les lignes de niveau, l’allure du graphe, les points critiques, les extrema :
1. f : (x, y)7→ln(x2−2y).
2. g: (x, y)7→exp(x2+ 2y2).
3. h: (x, y)7→cos(x2−y2).
Exercice 9. R´esoudre les ´equations diff´erentielles et les probl`emes de Cauchy suivants : 1. y0(x) = 2y(x) + 3.
2. y0(x) = y(x) x2+ 1.
3. y0(x) =xy(x) +xex2 ety(0) = 2.
4. y00(x)−3y0(x) +y(x) =x2+ 1, y(0) = 1 et y0(0) = 2.
5. 2y00(x)−5y0(x) + 7y(x) = 0.
6. y00(x)−6y0(x) + 9y(x) =xe5x.
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