2.1 In´ egalit´ e des pentes croissantes

Master Enseignement

Analyse 1 2018-2019

Universit´e Paris 13

Elements de corrig´´ e du devoir sur la convexit´e

1 D´ efinition et premiers exemples

Question 1.1

a)f : IR→IR, f(x) =e^x six∈IR. Convexe b)f : IR→IR, f(x) =x² six∈IR. Convexe c)f : IR→IR, f(x) =x³ six∈IR. PaS Convexe d)f : IR⁺→IR, f(x) =x³six∈IR⁺. Convexe

e)f : [−1,1]→IR, f(−1) = 2, f(1) = 2 etf(x) =x²six∈]−1,1[. Convexe f)f : [−1,1]→IR, f(−1) = 0, f(1) = 0 etf(x) =−x² six∈]−1,1[. Pas Convexe g)f : [−1,1]→IR, f(x) = 0 six <0 etf(x) =xsix≥0. Convexe

Question 1.2En multipliant par −1, l’in´egalit´e change de sens.

Question 1.3 Une fonction est concave sur I si et seulement si tout arc du graphe de f est au-dessus de sa corde.

Une application qui est `a la fois convexe et concave v´erifie que tout arc de son graphe est confondu avec sa corde. Les applications `a la fois convexes et concaves sont donc les applications affines.

2 Propri´ et´ es de continuit´ e et d´ erivabilit´ e des fonctions con- vexes

2.1 In´ egalit´ e des pentes croissantes

Question 2.1.a Dans l’in´egalit´e des pentes croissantes, les trois valeurs sont, de gauche `a droite, la pente de (AB), la pente de (AC) et la pente de (BC).

Question 2.1.b On trouve y_P =f(x) + (y−x)f(z)−f(x)

z−x ety_P =f(z) + (y−z)f(z)−f(x) z−x . Question 2.1.c L’interpr´etation g´eom´etrique dit que f(y)≤yP. La premi`ere expression de yP

donne alors l’in´egalit´e de gauche dans l’in´egalit´e des pentes croissantes. Et la seconde donne celle de droite.

Question 2.1.d L’in´egalit´e de gauche des pentes croissantes croissantes donne f(y) ≤ f(x) + (y−x)f(z)−f(x)

z−x . En comparant au r´esultat de la question 2.1.b, on obtientf(y)≤yP. Ceci ´etant vrai pour touty dans ]x, y[, on obtient que l’arc est en-dessous de la corde, donc quef est convexe surI.

2.2 D´ erivabilit´ e et continuit´ e

Question 2.2.a C’est exactement l’in´egalit´e de droite des pentes croissantes.

Question 2.2.b On applique l’in´egalit´e des pentes croissantes au tripletx < x0< λet on obtient la majoration voulue.

Question 2.2.c La fonctionφest croissante et major´ee, donc admet une limite finie `a gauche de x<sub>0</sub>. Cette fonction φ´etant le taux d’accroissement de f en x<sub>0</sub>, on obtient que f est d´erivable `a gauche enx₀ et est donc continue `a gauche enx₀ (car d´erivable implique continue).

Question 2.2.d On introduirait la fonctionψ:I∩]x₀,+∞[→IR, et on montre queψest croissante et minor´ee, par les mˆemes raisonnements.

2.3 Caract´ erisation des fonctions convexes d´ erivables

Question 2.3.a On fait tendrey vers xdans l’in´egalit´e de gauche des pentes croissantes. Pour la seconde in´egalit´e, on fait tendrey versz.

Question 2.3.b La question pr´ec´edente montre que f⁰ est croissante sur I, carf⁰(x) < f⁰(z) pourx < z quelconques dansI.

Question 2.3.c L’application φ est d´erivable comme compos´ee de fonctions d´erivables et sa d´eriv´ee entest φ⁰(t) =f(x)−f(y)−(x−y)f⁰(tx+ (1−t)y). On trouve queφ(0) =φ(1) = 0.

Question 2.3.d Il existe cdans ]x, y[ tel quef⁰(c) = f(x)−f(y)

x−y . Ce nombrec s’exprime sous la forme λx+ (1−λ)y pour un certain λ ∈]0,1[ car c ∈]x, y[. En rempla¸cant f(x)−f(y) par (x−y)f⁰(c) dans le r´esultat de la question pr´ec´edente, on trouve

φ⁰(t) = (x−y)

f⁰(λx+ (1−λ)y)−f⁰(tx+ (1−t)y) .

Question 2.3.e L’in´egalit´e `a r´esoudre est ´equivalente `a λ(x−y)≥t(x−y). Orx−y <0. Donc on trouve t ≥ λ. L’applicationf⁰ ´etant croissante, pour t ≥ λ, on a donc φ⁰(t) ≤ 0. Et pour t≤λ, φ⁰(t)≥0.

Question 2.3.f On trouve que φ est croissante jusqu’`a λ, puis d´ecroissante. On pr´ecise aussi φ(0) =φ(1) = 0.

Question 2.3.g L’applicationφest positive. Vu que φmesure l’´ecart entre la corde et l’arc, on trouve que la corde est au-dessus de l’arc, donc quef est convexe surI.

3 Une utilisation de la convexit´ e

3.1 Moyennes arithm´ etique et g´ eom´ etrique

Question 3.1.a La d´eriv´ee de−ln est croissante, donc−ln est une application convexe. Donc ln est concave.

Question 3.1.b On applique l’´equation (∗∗) `a−ln, avec lesλi =_n¹, et on utilise la propri´et´e du logarithme transformant somme en produit.

Question 3.1.c On compose l’in´egalit´e pr´ec´edente par la fonction exponentielle qui est croissante, donc le sens de l’in´egalit´e est conserv´e, ce qui donne la comparaison cherch´ee entre les moyennes.

3.2 Entropie d’une probabilit´ e

Question 3.2.a Le nombre H(P) est une somme de nombres positifs, car pkln(pk) ≤ 0 car pk∈[0,1]. H(P) = 0 si p1= 1 et les autrespi sont nuls.

Question 3.2.b On trouve H(P) = ln(n).

Question 3.2.c La seule chose `a pr´eciser est que la somme desqk vaut bien 1, comme ce sont les valeurs d’une probabilit´e. L’in´egalit´e s’obtient directement, en utilisant ln(a/b) = ln(a)−ln(b). On trouveH(P)≤ln(n). qui est l’entropie de la probabilit´e uniforme d’apr`es la question pr´ec´edente.

3.3 Une autre application

Poura+b+c= 1, chacune des fractions s’´ecrit sous une forme _1−x^x (appelons cecif(x)). En divisant par 3 l’in´egalit´e `a prouver, on observe qu’elle est de la forme ¹₃f(a) +¹₃f(b) +¹₃f(c)≥ ¹₂ =f(¹₃).

Orf est convexe, ce qui donne exactement cette in´egalit´e en utilisant (**) avec 3 termes.

Sia+b+c=α >1, on se ram`ene au cas pr´ec´edent en posanta⁰=a/α, etc.

3.4 In´ egalit´ e g´ en´ eralis´ ee de convexit´ e

Question 3.4.a L’in´egalit´e (∗∗) pour n= 1 est triviale et pourn = 2, c’est la d´efinition de la convexit´e.

Question 3.4.b Si λn+1= 1, alors (∗∗) est vraie par l’hypoth`ese de r´ecurrence appliqu´ee sur les npremiers points et coefficients.

Question 3.4.c Il suffit de bien regrouper les termes comme sugg´er´e par l’´enonc´e.