f' ( x )=( e − 1 )( 2e + 3 ) g ( x )= 2 ( x − 3 ) e

Classe : T S

Pour réviser pour l’oral – Fonction exponentielle Exercice 1

Soit g la fonction définie sur ℝ par g(x)=2(x²−3)e^x. Etudier le sens de variation de g sur ℝ.

Exercice 2

Montrer que pour tout réel x , e×e^x

e^2+3x=(e^−x−0,5)². Exercice 3

Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x)=5+xe^x et C sa courbe représentative dans un repère du plan.

1) Déterminer les limites de f en +∞ et –∞. Interpréter graphiquement.

2) Dresser le tableau de variations de f . Exercice 4

Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x)=e^2x+e^x−3x et C sa courbe représentative dans un repère du plan.

1) Déterminer les limites de f en +∞ et –∞.

2) a) Montrer que pour tout réel x , f '(x)=(e^x−1)(2 e^x+3). b) Dresser le tableau de variations de f .

Correction

Exercice 1

Soit g la fonction définie sur ℝ par g(x)=2(x²−3)e^x.

g est dérivable sur ℝ et pour tout réel x, g '(x)=2(2x×e^x+ (x²−3)×e^x)=2e^x(x²+2x−3). Pour tout réel x , _{2 e}^x_>0 donc g ' est du signe de _x²_{+ 2x−3}.

x²+ 2x−3 :  = 16 ; 2 racines 1 et -3.

x –∞ –3 1 +∞

g '(x) + 0 – 0 +

g 0

12 e^–3

-4 e

+∞

Complément :

* _x^lim_{→+ ∞}^{ex=+ ∞} et _x^lim_{→+ ∞}^{2(x2−3)=+ ∞} donc par produit de limites _x^lim_{→+ ∞}^{g(x)=+ ∞}.

*

Exercice 2 Soit x un réel.

e×e^x

e^2+3x=e^1+x−2−3x=e^−1−2x e^{−2x−0,5×2}=e^−2x−1

donc e×e^x

e^2+3x=(e^−x−0,5)² Exercice 3

1) Limite en +∞ : lim

x→+∞x=+∞et _x→+∞^{lim ex}=+∞ donc par limite de produit _x→+∞^{lim xex}=+∞ puis par limite de somme

x→+∞lim f(x)=+∞. Il n’y a pas d’asymptote horizontale au voisinage de +∞.

Limite en -∞ :

D’après mon cours, _x→−∞^{lim xex}=0 puis par limite de somme _x→−∞^{lim f(x)=5}. La droite d’équation y=5 est asymptote horizontale au voisinage de -∞ à C.

2) f est dérivable sur ℝ et pour tout réel ^x : f '(x)=1×e^x+x×e^x=e^x(1+x). Pour tout réel x , e^x>0 donc f '(x) est du signe de 1+x.

1+x=0 ssi x=−1.

x –∞ –1 +∞

f '(x) – 0 +

f (x) 5

5−e⁻¹

+∞

Exercice 4

1) Limite en +∞ : FI « +∞ »+ « –∞ »

Pour tout réel x , f (x)=e^x(^ex+1−3exx)^=ex

(

)

D’après le cours, lim

x→+∞

e^x

x =+∞ donc par quotient de limite ^x→+∞lim 3 e^x

x

=0. Comme _x→+∞^{lim ex} =+∞, on en

déduit par somme de limite ^{x→+∞lim e}

x+1− 3 e^x

x

=+∞. D’où par produit de limite, _x→+∞^{lim f(x)=+∞}. Limite en −∞ :

x→−∞lim e^2x=0 (changement de variable si on veut être très rigoureux) ; _x→−∞^{lim ex}=0 . Par somme de limite, _x→−∞^{lim f(x)}=+∞.

2) a) f est dérivable sur ℝ et pour tout réel x : f '(x)=2×e^2x+e^x−3.

D’autre part, pour tout réel x : ₍e^x−1)(2 e^x+3)=2e^2x+3e^x−2 e^x−3=2 e^2x+e^x−3=f '(x). b) _e^x_−1>0 ssi _e^x_>1 ssi x>ln 1 ssi x>0

Pour tout réel x, e^x>0 puis 2 e^x>0 puis . Ainsi f '(x) est du signe de e^x−1.

x –∞ 0 +∞

f '(x) – 0 +

f +∞

2

+∞