Sup PCSI 2 — Colle n◦ 13 et 14 — Quinzaine du 12/1 au 23/1
Les points marqu´es d’un • peuvent faire l’objet de questions de cours avec d´emonstrations d´etaill´ees. Les points marqu´es d’un ◮ se prˆetent particuli`erement `a des exercices.
1 R´ evision
◮Tout ce qui est calculs.
2 Limites et continuit´ e
•D´efinition de la continuit´e ; exemples, contre-exemples.
•Caract´erisation s´equentielle de la continuit´e.
•Prolongement par continuit´e.
• Fonctions continues sur un intervalle I; notationC(I,R) ; op´erations dans cet ensemble ; composition de fonctions continues.
• D´efinition de la limite en a ∈ I d’une fonction f : I 7→ R o`u I est un intervalle de R. La limite est n´ecessairement ´egale `af(a).
•Caract´erisation s´equentielle de la limite (preuve non exigible).
•Op´erations sur les limites.
•Passage `a la limite dans les in´egalit´es.
•Th´eor`eme de la limite monotone (preuve non exigible).
•Extensions : limite `a droite, limite `a gauche ; limite en ±∞; limite en a∈I; lim
a
f =±∞.
•Relations de comparaisons ; r`egles de comparaison usuelles ; ´equivalents usuels.
◮Calculs de limites, d’´equivalents ; d´etermination de d´eveloppements asymptotiques simples.
• Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires (preuve non exigible). L’image continue d’un intervalle est un inter- valle.
•Toute fonction continue sur un segment est born´ee et atteint ses bornes (preuve non exigible).
3 D´ eriv´ ees
•D´efinitions ´equivalentes de la d´eriv´ee ena∈I def ∈ F(I,R) : avec la limite du taux d’acroissement, avec leDL1(a) (la notion deDLn’est pas `a ce programme).
•La d´erivabilit´e de f enaimplique la continuit´e def ena. La r´eciproque est fausse.
•Fonction d´eriv´ee.
•D´eriv´ee de la somme, du produit, du quotient de deux fonctions d´erivables. Formule de Leibniz.
•D´eriv´ee de la compos´ee de deux fonctions d´erivables.
•Condition pour quef−1soit d´erivable, expression de¡ f−1¢′.
•Th´eor`eme deRolle(preuve non exigible) ; n´ecessit´e de chaque hypoth`ese.
•Th´eor`eme des accroissements finis (preuve non exigible) ; in´egalit´e des accroissements finis.
•Th´eor`eme ditde la limite de la d´eriv´ee(preuve non exigible).
•Lien entre sens de variation def et signe def′; en particulier, CNS pour quef ∈ D(I,R) soit strictement monotone surI.
•Extremums locaux ; en un extremum local d’une fonction d´erivable, la d´eriv´ee s’annule.
•Fonctions lipschitziennes. Une fonctionf d´erivable estk-lipschitzienne ssi|f′|est born´ee park.
