Sup PCSI 2 — Colle n◦ 13 et 14 — Quinzaine du 7/11 au 18/1
Les points marqu´es d’un • peuvent faire l’objet de questions de cours avec d´emonstrations d´etaill´ees. Les points marqu´es d’un ◮ se prˆetent particuli`erement `a des exercices.
1 Limites et continuit´ e
•D´efinition de la continuit´e ; exemples, contre-exemples.
•Caract´erisation s´equentielle de la continuit´e.
•Prolongement par continuit´e.
• Fonctions continues sur un intervalle I; notationC(I,R) ; op´erations dans cet ensemble ; composition de fonctions continues.
• D´efinition de la limite en a ∈ I d’une fonction f : I 7→ R o`u I est un intervalle de R. La limite est n´ecessairement ´egale `af(a).
•Caract´erisation s´equentielle de la limite.
•Op´erations sur les limites.
•Passage `a la limite dans les in´egalit´es.
•Th´eor`eme de la limite monotone.
•Extensions : limite `a droite, limite `a gauche ; limite en ±∞; limite en a∈I; lim
a
f =±∞.
•Relations de comparaisons ; r`egles de comparaison usuelles ; ´equivalents usuels.
◮Calculs de limites, d’´equivalents ; d´etermination de d´eveloppements asymptotiques simples.
• Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires (preuve non exigible). L’image continue d’un intervalle est un inter- valle.
•Toute fonction continue sur un segment est born´ee et atteint ses bornes (preuve non exigible).
2 Calcul matriciel (premi` ere approche)
•D´efinition des matrices carr´ees d’ordre 2.
•Somme et produit de matrices carr´ees d’ordre 2 ; propri´et´es du produit.
•D´efinition de la base canonique de M2(K).
◮•D´eterminant : d´efinition, d´eterminant du produitA×B.
◮•Matrices inversibles. Une matrice carr´ee d’ordre 2 est inversible ssi son d´eterminant n’est pas nul. Calcul de l’inverse d’une telle matrice. Inverse du produitA×B.
◮Matrices triangulaires, diagonales, scalaires. Exemples de calcul des puissances successives d’une matrice.
◮•Transposition : lin´earit´e de la transposition ; transpos´ee du produit A×B. Matrices sym´etriques, anti- sym´etriques, existence et unicit´e de la d´ecomposition d’une matrice carr´ee comme somme d’une matrice sym´etrique et d’une matrice antisym´etrique.
•Trace d’une matrice carr´ee d’ordre 2 ; lin´earit´e de la trace, trace d’un produit.
•Extension de ces notions (sauf d´eterminant et inverse) au cas des matrices carr´ees d’ordre 3.
N’oubliez pas d’indiquer sur la fiche de colle votre nom, et surtout le num´ero de la semaine en cours !
MPB : 89 AC : 15 CP : 130 BG :
