Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚14 Matrices
Notation :La lettreKd´esigneRouC.
Exercice 114 (Commutant d’une matrice 2×2)
Pour toute matriceA∈ M2(K), on d´efinit le commutant de Acomme ´etant l’ensemble de toutes les matrices deM2(K) qui commutent avecA. On note Comm(A) cette partie deM2(K). On a donc :
Comm(A) ={M ∈ M2(K)|AM =M A}. 1. SoitA∈ M2(K).
(a) Montrer que 0M2(K)∈Comm(A).
(b) Montrer que toute puissance deAappartient `a Comm(A).
(c) Soit (M1, M2) ∈Comm(A)2. Montrer que toute combinaison lin´eaire deM1 et de M2 appartient `a Comm(A).
2. Soit la matriceAla matrice d´efinie parA=
1 2 3 4
.Montrer que Comm(A) = Vect(I2, A).
Exercice 115 (Coefficients diagonaux d’un produit de deux matrices triangulaires sup´erieures) Soitn∈N∗. Soit (A, B)∈ Tn(K)2.Montrer que pour touti∈J1, nK,
[AB]ii = [A]ii×[B]ii.
Exercice 116 (Puissances de matrices, r´ecurrence et formule du binˆome de Newton)
1. Calculer les puissances de la matriceA=
1 1 1
1 1 1
1 1 1
.
2. Exprimer la matriceB=
0 1 1
1 0 1
1 1 0
en fonction deAetI3, puis calculer ses puissances.
Exercice 117 (Puissances de matrices et diagonalisation)
On se propose ici de calculer les puissances de la matriceA=
3 −2 −4
−2 3 2 3 −3 −4
.
1. Montrer que la matriceP=
1 0 2
1 −2 0
0 1 2
est inversible et calculerP−1. 2. CalculerD=P−1AP.
3. CalculerDn, pour toutn∈N∗.
4. D´emontrer par r´ecurrence que pour toutn∈N∗,An=P DnP−1. 5. En d´eduire la valeur deAn, , pour toutn∈N∗.
1
Exercice 118 (Inversibilit´e de matrices 2×2) 1. SoitA=
a b c d
∈ M2(K). On appelle d´eterminant deAle scalaire not´e det(A) d´efini par :
det(A) :=ad−bc.
(a) Montrer que det(A) = 0 si et seulement si les lignes deAsont proportionnelles.
(b) On noteA′ la matrice d´efinie parA′ =
d −b
−c a
.Calculer les produits A A′ et A′A.
(c) D´eduire de la question 1.(b) les deux r´esultats suivants.
i. Aest inversible si et seulement si det(A)6= 0.
ii. SiAest inversible alorsA−1= 1 det(A)
d −b
−c a
.
2. Pour chaquei∈ {1,2,3,4}, ´etudier l’inversibilit´e de la matriceAi et calculer son inverse lorsqu’elle est inversible.
A1:=
1 2 3 4
A2:=
eiπ4 1 i eiπ4
A3:=
5 2 7 3
A4:=
√
2 √
6
1 √
3
Exercice 119 (Inversibilit´e de matrices 3×3)
Pour chaquei∈ {1,2,3}, ´etudier l’inversibilit´e de la matriceAiet calculer son inverse lorsqu’elle est inversible.
A1=
−1 0 −1
1 −2 0
0 1 1
A2=
1 −2 3
−4 5 −6
7 −8 9
A3=
1 0 1 2 3 0 1 2 1
Exercice 120 (Factorisation de As−Bs, o`uA et B sont deux matrices qui commutent et s∈N∗) Soitn∈N∗. SoientAet B deux matrices deMn(K) qui commutent. Montrer que pour touts∈N∗,
As−Bs= (A−B)
s−1
X
k=0
AkBs−1−k
! .
Exercice 121 (Autour d’une matrice nilpotente de format 3×3) SoitAla matrice d´efinie par :
A=
2 −3 1
1 −1 1
−1 1 −1
.
1. CalculerA3.
2. En d´eduire queA n’est pas inversible.
3. Montrer queI3−A est inversible et calculer son inverse.
Exercice 122 (Quelques propri´et´es des matrices nilpotentes) Soitn∈N∗. Une matrice deN deMn(K) est dite nilpotente si
∃s∈N∗, Ns= 0Mn(K).
1. Soient deux matricesN1 etN2 deMn(K) nilpotentes et qui commutent.
(a) Montrer que toute matrice combinaison lin´eaire deN1et N2 est nilpotente.
(b) Montrer que la matrice produitN1N2 est nilpotente.
2. Montrer qu’une matrice nilpotente n’est pas inversible.
3. SoitN une matrice nilpotente deMn(K). Montrer que la matriceIn−M est inversible.
Indication : On pourra s’aider de l’exercice 120.
2
Exercice 123 (Produit de deux matrices carr´ees inversible(s))
Soitn∈N∗. SoientAetB deux matrices deMn(K). Montrer que le produitAB est inversible si et seulement si les deux matricesAetB sont inversibles.
Exercice 124 (Matrices semblables)
Soitn∈N∗. On dit qu’une matriceA∈ Mn(K) est semblable `a une matriceB∈ Mn(K) s’il existe une matrice P ∈GLn(K) telle queA=P B P−1. Dans ce cas, on noteA≡B.
Montrer que la relation≡entre matrices deMn(K) est une relation d’´equivalence, i.e. : 1. la relation≡est r´eflexive : pour toutA∈ Mn(K),A≡A;
2. la relation≡est sym´etrique : pour tout (A, B)∈ Mn(K)2, si A≡B alorsB≡A;
3. la relation≡est transitive : pour tout (A, B, C)∈ Mn(K)3, siA≡B et B≡CalorsA≡C.
Exercice 125 (Matrices sym´etriques et matrices antisym´etriques)
Soit n ∈ N∗. Une matrice M ∈ Mn(K) est dite sym´etrique si tM = M. Elle est dite antisym´etrique si
tM =−M.
1. Montrer qu’une combinaison lin´eaire de deux matrices sym´etriques (resp. antisym´etriques) est sym´etrique (resp. antisym´etrique).
2. SoitM une matrice deMn(K). Montrer qu’il existe une unique matrice sym´etriqueS ∈ Mn(K) et une unique matrice antisym´etriqueA∈ Mn(K) telles queM =S+A.
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