CPBX MPC Alg`ebre II 2020-2021
TD7 - Produit scalaire
Exercice 1
Pour toutn∈N∗ montrer l’in´egalit´e
n
X
k=1
k√
k≤ n(n+ 1) 2√
3
√2n+ 1.
On pourra interpr´eter le membre de gauche comme un produit scalaire entre deux vecteurs bien choisis deRn. On rappelle aussi que
n
X
k=1
k=n(n+ 1)
2 et
n
X
k=1
k2=n(n+ 1)(2n+ 1) 6
Exercice 2
SoitE=C0([a, b]) leR-espace vectoriel des fonctions continues sur [a, b].
1. Montrer que l’application suivante est un produit scalaire surE : (f, g)7→
Z b a
f(x)g(x)dx
2. Soitf ∈E, montrer que l’on a Z b
a
f(t)dt
!2
≤(b−a) Z b
a
f(t)2dt.
Quand a-t-on ´egalit´e?
3. Plus dur : montrer que sif est de plus de classeC1 et sif(a) = 0 alors Z b
a
f(t)2dt≤(b−a)2 2
Z b a
(f0(t))2dt
4. Ici, [a, b] = [−1,1]. Soit F le sous-ensemble de E form´e des polynˆomes de degr´e au plus 2 : F =R2[X]∩E. Donner une base orthonormale deF pour le produit scalaire d´efini `a la question 1.
1
Exercice 3
SoitE=Mn(R).
1. Montrer que l’application suivante est un produit scalaire surE : (A, B)7→tr(tAB) 2. D´eterminer l’orthogonal de l’ensemble des matrices diagonales.
3. D´erminer l’orthogonal des matrices de trace nulle.
4. Notons F le sous-espace vectoriel des matrices sym´etriques et G et le sous-espace vectoriel des matrices antisym´etriques. Prouver que F et Gsont deux sous-espaces orthogonaux. Pouvez-vous exprimer le projecteur de E surF associ´e `a la somme directeE=F⊕G?
Exercice 4
Soit (E,h·,·i) un espace vectoriel euclidien, etF et Gdeux sous-espaces vectoriels deE.
1. Montrer que
(F∩G)⊥=F⊥+G⊥ et
(F+G)⊥=F⊥∩G⊥. 2. Montrer que
(F⊥)⊥ =F.
Exercice 5
Soit (E,h·,·i) un espace vectoriel euclidien de dimensionn≥2. Soit (xi)i=1,...,nune famille de vecteurs deE. On noteG(x1, . . . , xn)∈Mn(R) la matrice dont le coefficient (i, j) esthxi, xji.
1. Soit B = (e1, . . . , en) une base orthonormale de E et A = MATB(x1, . . . , xn). Montrer que G(x1, . . . , xn) = tAA.
2. En d´eduire que detG(x1, . . . , xn)≥0, et que detG(x1, . . . , xn) = 0 si et seulement si (x1, . . . , xn) est li´ee.
3. Fixons un r´eelωet consid´erons la matriceM dont chaque ´el´ement diagonalmiivaut 1 et dont tous les autres ´el´ements mij (aveci6=j) vautω. Prouver queM n’est pas inversible si et seulement si ω= 1 ouω= n−1−1.
4. Soit (u1, . . . , un) une famille d’´elements deE telle qu’il existea∈[−√ 2,√
2]\ {0}tel que (∀i∈ {1, . . . , n}, kuik= 1
∀(i, j)∈ {1, . . . , n}2, i6=j =⇒ kui−ujk=a Montrer que la famille (u1, . . . , un) est libre.
Exercice 6
SoitA∈GLn(R). On munitRn du produit scalaire canoniqueh·,·i.
1. Montrer que la matriceS= tAA est une matrice sym´etrique d´efinie positive.
2/3
2. Montrer que l’application (X, Y)7→ hSX, Yiest un produit scalaire surRn. On noteNA la norme associ´ee, v´erifier que
NA(X) =kAXk2,
o`ukYk2 d´esigne la norme euclidienne associ´ee au produit scalaireh·,·i.
3. On note λ1 la plus petite valeur propre deS etλn la plus grande. Montrer queλ1>0.
4. Montrer que
∀X ∈Rn, p
λ1kXk2≤NA(X)≤p
λnkXk2
5. Prouver que l’on a
pλn = sup
X6=0
NA(X)
||X||2
6. Pouvez-vous trouver une formule similaire pour λ1 ?
Exercice 7
Soit u un endomorphisme sym´etrique d’un espace euclidien E, c’est-`a-dire telle que hu(x), yi = hx, u(y)i. On note B = (e1, . . . , en) une base orthonorm´ee de E et A = (ai,j)1≤i,j≤n la matrice de udans cette baseB.
1. Montrer que hu(ei), eji=ai,j. Que peut-on dire de la matriceA? 2. Montrer que les sous-espaces propres deusont orthogonaux.
3. SoitA=
1 2 0 0
2 1 0 0
0 0 1 2
0 0 2 1
. D´eterminer une matricePorthogonale telle queP−1AP soit une matrice diagonale.
Exercice 8
SurR4on consid`ere l’application qui ax= (x1, x2, x3, x4) ety= (y1, y2, y3, y4) associe
f(x, y) =x1y1+x2y2+ 3x3y3−3x1y4−3x4y1+x1y3+x3y1+ 4x2y4+ 4x4y2+ 2x3y4+ 2x4y3. 1. D´eterminer la matrice defdans la base canoniqueB= (e1, e2, e3, e4), d´efinie parA= (f(ei, ej))1≤i,j≤4.
A est-elle diagonalisable ?
2. D´eterminer une base orthonomale form´ee de vecteurs propres deA.
3. L’applicationx7→f(x, x) definit-elle un produit scalaire sur R4?
3/3
