NOM : PRENOM :
MT09-A2006- Examen partiel- Questions de cours
Dur´ee : 30mn. Sans document ni machine `a calculer. Vous devez r´epondre sur l’´enonc´e
Exercice 1 (bar`eme approximatif : 2.5 points)
Soit A∈ Mpn(IR) une matrice rectangulaire avecp≥n.
1. Montrer que Ker(A) = Ker(ATA)
2. En d´eduire que rang(A) =nest ´equivalent `a ATA est inversible.
3. Etant donn´esA∈ Mpn(IR) etb∈IRp, on cherchex∈IRnqui minimisekAx−bk. D´eduire de ce qui pr´ec`ede que si rang(A) =n, ce probl`eme admet une solution unique.
Exercice 2 (bar`eme approximatif : 2.5 points)
1. Montrer que si une matriceAcarr´ee admet une d´ecomposition de Cholesky alors,Aest sym´etrique d´efinie positive.
2. La r´eciproque est-elle vraie ? On ne demande pas de d´emontrer le r´esultat.
3. SoitAla matrice d´efinie parA= 1 2 2 1
!
. D´emarrer le calcul de la d´ecomposition de Cholesky deA. Que se passe-t-il ? Que peut-on en d´eduire ?
MT09-A2006- Examen partiel Dur´ee : 1h30. Polycopi´es de cours autoris´es
Question de cours d´ej`a trait´ee : 5 points
R´edigez les exercices 1 et 2 sur des copies s´epar´ees
Exercice 1: (bar`eme approximatif : 4 points ) CHANGER DE COPIE.
On construit une suite V(k) = (x(k) y(k))T de vecteurs de IR2, de la mani`ere suivante : On se donne un vecteurV(0), puis l’on d´efinitV(k+1), pour k= 0,1,2, ...par
V(k+1)= 1 2
0 −1
−1 0
! x(k) y(k)
! +1
2 a b
!
, (1)
o`u (a b)T est un vecteur de IR2 donn´e.
1. Cette suite converge-t-elle ? Justifier la r´eponse.
2. Si cette suite converge vers un V = (x y)T, quel syst`eme d’´equations lin´eaires, not´e AV =D, est v´erifi´e par x ety ? ExpliciterA etD (A est une matrice carr´ee et Dun vecteur colonne).
3. La suite (1) aurait pu ˆetre obtenue en appliquant au syst`eme AV =D, une m´ethode it´erative classique, laquelle ?
4. Quel th´eor`eme du cours permettrait de r´epondre directement `a la question 1) ? 5. On applique la m´ethode de Gauss-Seidel au syst`eme AV =D.
ExprimerV(k+1) en fonction deV(k) ?
6. La m´ethode de Gauss-Seidel converge-t-elle ? Pourquoi ?
Exercice 2: (bar`eme approximatif : 11 points ) CHANGER DE COPIE.
Les trois questions peuvent ˆetre trait´ees de fa¸con ind´ependante.
1. SoitM ∈ Mnn tridiagonale, soit u∈IRn d´efinis par :
M =
δ α 0 ... 0 α δ α 0 ...
... ... ... ... ...
... 0 α δ α 0 ... 0 α δ
, u=
u1 u2
... un−1
un
.
On cherchev∈IRn v´erifiant M v=u.
(a) Montrer, par r´ecurrence sur i, que l’on peut se ramener au syst`eme suivant : ( vi = eivi+1+fi pour i= 1, .., n−1
vn = fn,
o`u les coefficients ei et fi (ind´ependants de v ) sont `a d´eterminer. On suppose que toutes les divisions n´ecessaires pour d´eterminer ces coefficients sont possibles.
(b) Utiliser ce qui pr´ec`ede pour ´ecrire une fonction Scilab function v=resol1(delta,alpha,u)
qui ´etant donn´es les r´eelsδ etα et le vecteur ucalcule le vecteur v solution deM v=u.
(c) Evaluer le nombre de multiplications et divisions n´ecessaires pour obtenirv.
2. Dans cette question on choisit n=3.
On veut r´esoudre
Ax=b, avec b∈IRn2, A∈ Mn2n2. Aest d´efinie par blocs de la fa¸con suivante :
A=
D I3 O3 I3 D I3
O3 I3 D
o`uD=
d1 0 0 0 d2 0 0 0 d3
, I3 est la matrice identit´e , O3 est la matrice nulle.
I3∈ M33, O3 ∈ M33.
On r´eordonne les inconnues xi, le nouveau vecteur inconnuy est maintenant : y= (x1 x4 x7 x2 x5 x8 x3 x6 x9)T .
(a) Montrer qu’il est possible de changer l’ordre des ´equations de telle sorte que
Ax=b⇐⇒
M1 O3 O3
O3 M2 O3 O3 O3 M3
y=c,
o`u les matricesMi sont tridiagonales ayant la mˆeme forme que dans la question 1), pr´eciser les coefficients des matricesMi.
Donner les composantes du vecteurc `a l’aide des composantes deb.
(b) On suppose que les n2 composantes de x, y, b et c sont stock´ees dans des matrices XX, Y Y, BB, CC appartenant `aMnn de la fa¸con suivante :
XX =
x1 x4 x7 x2 x5 x8 x3 x6 x9
, Y Y =
y1 y4 y7 y2 y5 y8 y3 y6 y9
, BB=
b1 b4 b7 b2 b5 b8 b3 b6 b9
, CC =
c1 c4 c7 c2 c5 c8 c3 c6 c9
.
Quelle relation (simple) lie les matricesXX etY Y ? Quelle relation (simple) lie les matricesBB etCC ?
(c) Utiliser ce qui pr´ec`ede pour d´ecrire rapidement comment et dans quel ordre on va calculer les composantes de la solution deAx=b.
(d) i. On se donne le vecteurd= (d1d2 d3) ainsi que la matriceBB∈ M33, on veut calculer x v´erifiant Ax=b. Compl´eter la fonction scilab suivante.
function XX=resol2(d,BB) for i=1:3
u= ....
v=resol1(..., ..., u) XX(...)=...
end
endfunction
ii. Comment faudrait-il modifier la fonction pr´ec´edente dans le cas denquelconque ? 3. On veut r´esoudre
Abxb=bbavecbb∈IR9 etAb∈ M99. Abest d´efinie par blocs de la fa¸con suivante :
Ab=
G I3 O3
I3 G I3 O3 I3 G
o`uGest sym´etrique r´eelle, I3 est la matrice identit´e , O3 est la matrice nulle.
G, I3, O3∈ M33.
Puisque G est sym´etrique r´eelle, il existe une matrice P inversible et une matriceD diagonale telles queP−1=PT etG=P DP−1. On suppose que l’on connaˆıtP etD.
On d´efinit H=
P O3 O3
O3 P O3
O3 O3 P
(a) Que vautH−1 ? Que vaut H−1AHb ?
(b) En d´eduire que le syst`eme Abxb=bb peut s’´ecrire de fa¸con ´equivalente : Abxb=bb⇔Ax=b,
o`uA est la matrice d´efinie dans la question 2).
Donner l’expression dexb etbb en fonction de xet b.
(c) Combien faut-il de multiplications pour calculer b`a partir de bb ?
