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S1 PCST, Option Math 152 Univ. Paris-Sud, Orsay Bases du raisonnement math´ematique 3 novembre 2014
Partiel Dur´ ee : 1 heure 30
L’´el´ement principal d’appr´eciation des copies est la rigueur logique dans la r´eponse aux ques- tions. Les preuves devront ˆetre fond´ees uniquement sur les d´efinitions et m´ethodes vues en cours ce semestre, et sur des propri´et´es math´ematiques banales (de niveau coll`ege par exemple). L’utilisation de la notion de d´eriv´ee est notamment interdite, ainsi que l’applica- tion de th´eor`emes sur les limites de suites (encadrement, . . . ).
Exercice 1 - Ecrire la n´egation de la phrase logique suivante (aucune justification n’est demand´ee, et on ne demande pas non plus si cette phrase est vraie ou fausse) :
∃a∈N ∀b∈N ∃c∈N a2+b2 > c.
Exercice 2 - NotonsV une phrase logique vraie, etF une phrase logique fausse. Dire si cha- cune des phrases logiques suivantes est vraie ou fausse ; aucune justification n’est demand´ee :
(a)V ou F (b)V etF (c)V ⇒F (d)F ⇒V (e)V ⇔F
Exercice 3 - Notonsf : ]2,+∞[→R la fonction d´efinie parf(x) = x−21 . D´emontrer quef est d´ecroissante sur ]2,+∞[. On rappelle que l’utilisation de la d´eriv´ee est interdite.
Exercice 4 - Pour tout x ∈ R, posons g(x) = 2x2 −3. La fonction g ainsi d´efinie est- elle croissante sur R? Justifier votre r´eponse par une preuve. On rappelle `a nouveau que l’utilisation de la d´eriv´ee est interdite.
Exercice 5 - Notons (un)n≥0la suite d´efinie parun= n21+2. D´emontrer que limn→+∞un= 0.
On rappelle que l’utilisation de th´eor`emes sur les limites (notamment le th´eor`eme d’encadre- ment) est interdite.
Exercice 6 - D´emontrer la phrase logique suivante :
∀y∈R h
(y6= 1) ⇔
∃x∈R, x6= 2 et y= x−1 x−2
i .
