L3 SM UE504P Universit´e de Tours Ann´ee 2008-2009
M´ ethodes math´ ematiques pour la physique
session 2 09/06/2009 dur´ee de l’examen: 2h
1. [5 points] Consid´erons la fonctionf(x) =|x+ 1|+|x−1|. Calculer df
dx et d2f
dx2 au sens des distributions (c’est-`a-dire, trouver (Tf)0 et (Tf)00).
2. [5 points] Consid´erons la fonctionf(x) de p´eriode 2 d´efinie par f(x) =x+|x| pour −1< x≤1.
(a) D´evelopper cette fonction en s´erie de Fourier.
(b) Ecrire l’identit´e de Parseval correspondant `a cette s´erie de Fourier.
3. [6 points] En utilisant la m´ethode des fonctions de Green, trouver la solution y(x) de l’´equation diff´erentielle
4y00(x) +y(x) = cosx,
v´erifiant les conditions initialesy(0) = 0, y0(0) = 0. V´erifier le r´esultat.
4. [9 points] En utilisant la m´ethode des fonctions de Green, trouver la solution y(x) de l’´equation diff´erentielle
16x2y00(x) + 3y(x) = 1, v´erifiant les conditions limitesy(1) = 0, y0(4) = 0.
