L2 SM Universit´e de Tours Ann´ee 2012-2013
M´ ethodes math´ ematiques pour la physique
25/04/2013 dur´ee de l’examen: 2h
1. • Repr´esenter graphiquement le domaineD d´efini par D=n
(x, y) : (|x| −1)2+ (|y| −1)2 ≤1,|x|+|y| ≤1o .
• Calculer l’aire de D en utilisant les int´egrales doubles, puis v´erifier le r´esultat par calcul g´eom´etrique ´el´ementaire.
2. SoientA= (1,1,0),B = (0,2,2),C = (0,0,1) trois points dans R3.
• Calculer la circulation Z
E~ ·d~r du champ vectoriel E~ = 2z ~ex−3x ~ey + 4y ~ez le long du chemin ferm´e A→B→C →Acompos´e de trois segmentsAB,BC etCA.
• Calculer le flux Φ = Z Z
∆ABC
B~ ·~n dS du champ vectoriel uniformeB~ = 4~ex+ 2~ey−3~ez `a travers le triangleABC.
• Est-ce qu’il y a une relation entre les r´esultats des deux questions pr´ec´edentes? Pourquoi?
3. • D´eterminer les pˆoles de la fonction f(z) = 1
sin3z − 1
z3, ainsi que leurs ordres. Calculer le premier terme non nul dans le d´eveloppement de Laurent def(z) autour dez= 0.
• En utilisant le th´eor`eme de r´esidus, calculer l’int´egrale Z π
2
0
dθ 7 + cos 2θ.
