L2 SM Universit´e de Tours Ann´ee 2015-2016
M´ ethodes math´ ematiques pour la physique
11/03/2016 dur´ee du contrˆole: 2h
1. Soient
A= (1,0,0), B= (0,1,0), C = (0,0,1), D= (−1,−1,−1), E= (2,3,3).
Trouver le point d’intersection de la droite du segment DE avec le plan du triangle ABC et calculer l’angle entreDE et le vecteur normal `a ce plan.
2. Soientγ1 et γ2 deux courbes param´etr´ees dans R2 de la forme
γ1 :
x(t) = 2 cosπ√ t 3 , y(t) = 2 sinπ√
t 3 , t∈[14,254].
γ2:
x(t) =−2 cost, y(t) = 2−2 sint, t∈[π6,5π6 ].
• Tracer les deux courbes dans le planxy en indiquant leurs points d’intersection.
NotonsDle domaine d´elimit´e par γ1 etγ2.
• R´eecrire l’int´egrale double Z Z
D
f(x, y)dxdy comme une int´egrale it´er´ee (1 forme en coor- donn´ees cart´esiennes et 2 formes en coordonn´ees polaires).
• Calculez cette int´egrale double dans le casf(x, y) = 1 et v´erifiez votre r´eponse g´eom´etriquement.
3. Soit Π :R2 →R3 un plan d´efini param´etriquement par les ´equations
Π :
x(u, v) = 2u−v+ 3, y(u, v) = 2u+ 3v+ 7, z(u, v) =u−v+ 1.
• Donner un exemple d’un vecteur normal et d’un vecteur tangent `a Π.
• Donner un exemple d’une droite param´etr´ee appartenant `a Π.
• L’origineO = (0,0,0) appartient-il `a Π? Si oui, argumentez votre r´eponse; si non, calculez la distance entre Π etO.
