L2 SM UE403P Universit´e de Tours Ann´ee 2011-2012
M´ ethodes math´ ematiques pour la physique
07/03/2012 dur´ee du contrˆole: 2h
1. D´emontrer la formule
Z a 0
dx Z x
0
f(x, y)dy= Z a
0
dy Z a
y
f(x, y)dx.
Icia >0 est un param`etre et f(x, y) est une fonction arbitraire, continue surD={(x, y) : 0≤ x≤a, 0≤y≤a}.
2. Calculer le volume du solide d´elimit´e par les surfacesz=x+y,z= 2x+ 2y,y=x,y=x2. 3. Calculer l’aire d’intersection du domaine tridimensionnel V = {(x, y, z)| |y| ≤ 1−x2} avec le
plan d’´equation z=ax+by+c.
4. Repr´esenter graphiquement le champ vectorielE(x, y) = (x+y)ex+ (x−y)ey. Existe-t-il une fonctionf(x, y) telle que E=∇f?
5. D´emontrer la formule de Poisson Z Z
S
f(ax+by+cz)dS= 2π Z 1
−1
f up
a2+b2+c2 du, o`u S note la surface de la sph`ere x2+y2+z2 = 1.
