L2 SM Universit´e de Tours Ann´ee 2014-2015
M´ ethodes math´ ematiques pour la physique
13/05/2015 dur´ee de l’examen: 2h
1. Soit Q un quadrilat`ere dans R2 ayant pour sommets A = (−1,−2), B = (−2,2), C = (2,1), D= (1,−1).
• R´e´ecrire l’int´egrale double
∫∫
Qf(x, y)dxdy en termes d’int´egrales it´er´ees.
• En utilisant le r´esultat pr´ec´edent, calculer l’aire de Q.
2. Donnez un exemple d’un champ vectoriel tangent au planx+ 2y+ 3z= 2015.
3. Soit E⃗ = cosπx4 sinπy4 ⃗ex+ sinπx4 cosπy4 ⃗ey un champ vectoriel sur R2.
• E⃗ est-il conservatif? Argumenter la r´eponse.
• Calculer l’int´egrale curviligne
∫
γ
E⃗ ·d⃗r, o`u γ note l’arc du cercle x2+y2 = 2 qui relie le point A= (1,1) au pointB = (1,−1).
4. Calculer le flux du champ vectoriel E⃗ = 3⃗ex+ 4⃗ey+ 5⃗ez `a travers la surface de la demi-sph`ere x2+y2+z2 = 1,z≥0.
5. En utilisant le th´eor`eme de r´esidus et (si n´ecessaire) le lemme de Jordan, calculer les int´egrales
∫ π
0
dx (7−cosx)2,
∫ ∞
−∞
e−iπxdx x2+ 1 ,
∫ ∞
0
(1−cosx)dx x2 .
