M´ ethodes math´ ematiques pour la physique (controle du 15/11/2008)
Exercice 1. Consid´erons la fonction f(x) =|x+ 2| − |x−2|. Calculer df
dx et d2f
dx2 au sens des distributions (c’est-`a-dire, trouver (Tf)0 et (Tf)00).
Exercice 2. Consid´erons la fonction f(x) de p´eriode 2 d´efinie par f(x) = |x| pour −1< x≤1.
1. D´evelopper cette fonction en s´erie de Fourier.
2. Ecrire l’identit´e de Parseval correspondant `a cette s´erie de Fourier.
Exercice 3. En utilisant la m´ethode des fonctions de Green, trouver la solution y(x) de l’´equation diff´erentielle
y00(x)−4y0(x) + 3y(x) =x2,
v´erifiant les conditions initiales y(0) = 1, y0(0) = 0. V´erifier le r´esultat.
Exercice 4. En utilisant la m´ethode des fonctions de Green, trouver la solution y(x) de l’´equation diff´erentielle
y00(x) + 9y(x) = sin 2x,
v´erifiant les conditions limites y(0) = 0, y0(π) = 0. Expliquer pourquoi la m´ethode des fonctions de Green n’est pas appliquable aux conditions limites y(0) = 0, y(π) = 0.
Exercice 5.
1. Calculer la transform´ee de Fourier de la fonction
f(x) =
(1− |x| pour |x| ≤1, 0 pour |x|>1.
2. En utilisant le r´esultat, calculer l’int´egrale Z ∞
0
1−cost t2 cost
2 dt .
