L2 SM Universit´e de Tours Ann´ee 2012-2013
M´ ethodes math´ ematiques pour la physique
13/03/2013 dur´ee du contrˆole: 2h
1. Calculer les int´egrales (en expliquant les diff´erentes ´etapes de votre calcul) Z ln (x+ 3)
(x−3)3 dx, Z
x2sin3x dx.
2. Tracer, sur 2 graphes s´epar´es, les deux courbes suivantes d´efinies param´etriquement:
γ1: x(t) = 2−t2, y(t) =t−1
2, t∈[−1,1];
γ2: x(t) = 2−t4, y(t) =t2−1
2, t∈[−1,1].
3. La roue de rayon 1 roule sans glissement sur un cercle de rayon 6, `a l’int´erieur de ce dernier.
Tracer la trajectoire d’un point fix´e sur l’extremit´e de la roue. Est-elle ferm´ee? Trouver les
´equations param´etriques de la trajectoire.
4. Repr´esenter graphiquement le domaineD d´efini par D=
(x, y)∈R2 : x2+y2≤2|x+y|+ 2 .
Exprimer l’int´egrale double Z Z
D
f(x, y)dx dy via des int´egrales it´er´ees (simples si possible).
Calculer l’aire deD.
5. Calculer l’int´egrale triple
Z Z Z
V
(|x|+|y|+|z|) dx dy dz,
o`u V =
(x, y, z)∈R3: |x|+|y|+|z| ≤1 .
