A l’int´erieur du cercle de rayon R

E647

1. Soient A(√ 2,√

3) et M(p, q) ,M⁰(p⁰, q⁰) `a coordonn´ees enti`eres.

AM =AM⁰ ⇔ (p−√

2)²+ (q−√

3)² = (p⁰−√

2)²+ (q⁰−√ 3)²

⇔ p²+q²−p⁰²−q⁰² = 2√

2(p−p⁰) + 2√

3(q−q⁰)

⇒ 8√

6(p−p⁰)(q−q⁰) entier Si p6=p⁰ on en d´eduit q =q⁰ (car √

6 n’est pas un rationnel) d’o`u 2√

2(p−p⁰) est entier:

contradiction. On a donc p=p⁰ et q=q⁰ et par suite: AM =AM⁰ ⇔M =M⁰.

En consid´erant un cercle de centreAdont le rayon augmente, le nombre de points int`egres

`

a l’int´erieur du cercle augmente de 1 chaque fois que le cercle passe par point int`egre et prend donc toutes les valeurs enti`eres.

2. A l’int´erieur du cercle de rayon R = √

n il y a, en d´esignant par dxe la partie enti`ere sup´erieure de x:

• l’origine

• 4(d√

ne −1) points dont une seule coordonn´ee est nulle

• 4(^lqn/2^m−1) points de la forme (x, y) (avec |x|=|y| 6= 0)

• 8

x0

X

x=1

(^l√

n−x^2m−1−x) points de la forme (x, y) (avec |x| 6=|y| et non nuls) En effet, x+ 1₆y <√

n−x² donne ^l√

n−x^2m−1−xvaleurs pour y.

De plus x²+ (x+ 1)² < n⇔(2x+ 1)² <2n−1⇔x <

√2n−1−1 2

d’o`u x₀ =^l

√2n−1−1 2

m−1.

Le nombre total de points int`egres `a l’int´erieur est donc ´egal `af(n) = 1 + 4(d√

ne −1) + 4(^lqn/2^m−1) + 8

x0

X

x=1

(^l√

n−x^2m−1−x).

Si on associe `a chaque point int`egre `a l’int´erieur du cercle le carr´e de cˆot´e 1 dont il est le sommet inf´erieur gauche on obtient en encadrant l’ensemble de tous ces carr´es par deux cercles: π(√

n−√

2)² < f(n)< π(√ n+√

2)² par suite f(n)≈πn. On a donc n≈ ²⁰⁰⁹_π ≈639,5.

Avec la formule obtenue pour f(n) on calcule f(639) = 2009.

639 = 9×71 et 638 = 2×11×29 ne sont pas sommes de deux carr´es. 637 = 7²×13 et 640 = 5×128 sont sommes de deux carr´es.

Les entiers n tels que f(n) = 2009 sont donc 638, 639 et 640.

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