D1876. Un nouveau venu dans une ancienne saga ***
Dans un cercle (Γ) de rayon r, on trace une corde AB de longueur > r puis un point P sur cette corde tel que AP = r. Soit le point C sur (Γ) tel que CP = BP. La médiatrice de BP coupe (Γ) en deux points D et E.
Q1 Déterminer la valeur de l’angle DCE
Q2 Démontrer que P est le centre du cercle inscrit au triangle CDE.
Nota : après avoir résolu Q1, les lecteurs de diophante.fr feront aisément le rapprochement avec une saga maintes fois évoquée dans le site.
PROPOSITION Th Eveilleau
Q1
1°)
Soit R le point d’intersection de la droite (CP) et du cercle ().
Dans le cercle () de rayon r et de centre O, nous avons comme inscrits : BCR = BAR Les triangles (APR) et (CPB) sont donc semblables car ils ont deux et donc trois angles égaux.
Comme le triangle (CPB) est isocèle, on déduit que (APR) est isocèle.
Donc AP=PR = AO = r
Comme R est sur le cercle de centre O, on a aussi OR=r.
Le quadrilatère OAOR est finalement un losange.
(OP) es taxe de symétrie de cette figure.
A et R son symétriques par rapport à (OP°.
De même pour C et B.
2°)
Soit () le cercle de centre A et de rayon r.
Soit E le point d’intersection des deux cercles précédents.
La médiatrice () du segment [OA], joignant les deux centres des cercles () et () , passe par l’intersection de ces deux cercles donc par E.
Comme [CP] // (AO) nous avons () médiatrice de [CP].
Cela provient du fait que (ACPO) est un trapèze isocèle par symétrie de la figure.
3°)
La médiatrice de [BP] est symétrique de () par rapport à (OP).
(OR) est symétrique de (OA) par rapport à (OP).
Comme () est médiatrice de [OA], nous avons par symétrie que la médiatrice de [BP] est aussi médiatrice de [OR].
DONC D est équidistant de O et de R.
r = OD=DR On a aussi OR=r
Le triangle (AOR) est équilatéral et ORD = 60°
Le diamètre (OR) est perpendiculaire à la corde (ED) du cercle.
(OR ) est donc médiatrice de [ED].
ER=RD =r mais surtout
ORE = ORD = 60°
ERD = ERO + ORD = 60°+ 60° =120°
La quadrilatère ECBR est inscriptible dans () , donc DCE = 180° - DCE = 180° - 120° = 60°
L’angle DCE mesure 60°.
Q2
1°)
Nous avons vu que R est sur la médiatrice de [DE], donc D est au milieu de l’arc (ED), donc R est sur la bissectrice de l’angle DCE.
P est sur la bissectrice de DCE. (*)
2°)
.
Soit H le pied de la perpendiculaire issue de P sur ((CD)Le triangle (CPH) a -a un angle de 30°
(car CR) bissectrice de DCE.), - un angle de 90° en H,
Il est donc demi-équilatéral . Il s’ensuit :
PH =PC/2
.
Soit I, le point d’intersection de la médiatrice de [PB] avec (PB).Nous avons PI = PB/2 = PC/2 PH =PC/2
PI = PC/2
P est sur la bissectrice de CDE (**)
(*) ET (*) P est le centre du cercle inscrit au triangle (CDE)
