D1876. Un nouveau venu dans une ancienne saga MB
Dans un cercle (Γ) de rayon r, on trace une corde AB de longueur > r puis un point P sur cette corde tel que AP = r. Soit le point C sur (Γ) tel que CP = BP. La médiatrice de BP coupe (Γ) en deux points D et E.
Q1 Déterminer la valeur de l’angle DCE
Q2 Démontrer que P est le centre du cercle inscrit au triangle CDE.
Q1)L'origine est O, centre de (Γ), on suppose que r = 1
Les coordonnées de A, B, et P sont : A(-u,v), B(+u,v), P(1– u, v).
Médiatrice de PB : x = (1– u + u)/2 soit x = 1 / 2 donc angle ECD = 60°.
Q2) Utilisant les affixes complexes : B(b), A(-1/b), P(1-1/b), C(c).
Vecteurs PB (b+1/b – 1 ) (réel), et PC( c+1/b – 1).
(distance PC)² = (c+1/b – 1)(1/c+b – 1) = ((bc−c+1)(bc−b+1))
(bc)
PC² – PB² = ((bc−c+1)(bc−b+1))
(bc) – (b+1
b−1)2 = ((b−c)(b−1)(c∗b2+1))
(c∗b2)
On suppose que la corde AB n'est pas un diamètre car si P est en O, C n'est pas défini, b ≠ 1, c ≠ b, c = – 1/b² d'autre part l'affixe de D est – j².
On va montrer que le point P est équidistant des droites DE et DC.
{
Rappel si u et v désignent les affixes de deux points U et V du cercle unité, un point quelconque M d'affixe z et M'(z') son symétrique par rapport à la droite UV, on a :
z' = u+v – uv ̄z et, pour l'affixe du vecteur MM' : u+v– z– uv ̄z
où ̄z désigne le conjugué de z }
Si P' est le symétrique de P par rapport à la droite CD, l'affixe du vecteur PP' est –1/b² – j² – (1–1/b) – (j²/b²)(1–b) = −(j2+1)(b2−b+1)
(b2) = j (b2−b+1)
(b2)
dont le conjugué est (b2−b+1)
j d'où PP'² = (b2−b+1)2
(b2) = (b + 1/b – 1 )² = PB²
PP' = PB, P est équidistant des droites DC et DE. En remplaçant j par son conjugué on montre de même que P est équidistant des droites ED et EC.
P est équidistant des 3 côtés du triangle CDE, P est le centre du cercle inscrit dans CDE.
