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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

D1874 . Une jolie formule

Problème proposé par Jean-Louis Aymé

Soit [AB] une corde horizontale tracée dans un cercle (Γ) de rayon R.

On désigne par :

(S1) et (S2) les arcs de cercle respectivement Sud et Nord de (Γ), P le milieu de [AB], I le milieu de l’arc Sud (S1),

(Γ1) le cercle de diamètre [IP] et de rayon r1,

(Γ2) un cercle de rayon r2, tangent à [AB] et intérieurement à (S2),

(Γ3) le cercle de rayon r3, tangent à [AB] intérieurement à (S2) et extérieurement à (Γ2).

Démontrer que (r1.r2 + r1.r3 + r2.r3)2 = 4.r1.r2 r3.R

--- Solution proposée par Nicolas Petroff

,

,

 ,

 ,

 

4 ,

Posons z = . L’équation précédente après développements et simplifications devient : , cette équation du 2ième degré en z a pour discriminant réduit :

.

Posons t = ,    . CQFD.

---

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