D1874. Une jolie formule
∆ : la droiteAB, etΨ le cercle (I,IA).
L’inversion par rapport `a Ψ ´echange Γ et ∆; elle laisse inchang´es Γ2 et Γ3, tangents `a Γet ∆, qui sont donc orthogonaux `aΨ.
D’o`u la construction de ces 2 cercles. On choisit la droiteIM : la tangente en M `aΨcoupe∆enF,Eest le sym´etrique deDpar rapport `aF M, et O2et O3les centres des cercles inscrits et exinscrits au triangleDEF.
Les bissectrices enD (DO2et DO3) sont orthogonales :
⇒ r2.r3= M O2.M O3 =M D2
r2+r3=O2O3 =P2P3/cos α= 2M D/cos α avecα=P ID\ =AF M\
Par ailleurs,IM2=IA2= 4R r1,
et M D=IM−ID= 2(√
R r1−r1/cos α)
r1.r2+r1.r3+r2.r3=r12M D
cos α +M D2
1
En d´eveloppantM D2, il vient : r1.r2+r1.r3+r2.r3= 4R r1−4√
4R r1∗r1/cos α
=√
4R r1∗(√
4R r1−2r1/cos α)
=M I∗M D
Finalement on retrouve la jolie formule de Jean-Louis Aym´e : (r1.r2+r1.r3+r2.r3)2 =M I2∗M D2 = 4R r1r2r3
2
