D 1874 Une jolie formule
Solution proposée par Pierre Renfer
Soient M le centre du cercle 2 et S le projeté de M sur la droite (AB).
Soient N le centre du cercle 3 et T le projeté de N sur la droite (AB)
2 2 2 2 2
2 1 2 1 1 2
PS OM (OP MS) (R r ) (R 2r r ) 4r (R r r ) (1)
2 2 2 2 2
3 1 3 1 1 3
PT NT (OP NT) (R r ) (R 2r r ) 4r (R r r ) (2)
2 2 2 2 2
2 3 2 3 2 3
ST MN (MS NT) (r r ) (r r ) 4r r (3)
2 2 2 2
ST (SP PT) PS PT 2 SP PT Donc : (ST2 PS2 PT ) 4 PS PT2 2 2 2
Et : ST4PS4 PT4 2 PS PT2 2 2 ST PS2 2 2 ST PT2 2 0
En remplaçant dans cette dernière égalité PS , PT , ST2 2 2 par leurs valeurs calculées en (1), (2), (3), on obtient la jolie formule :
1 2 2 3 3 1 2 1 2 3
(r r r r r r ) 4 R r r r