D 1874 Une jolie formule

(1)

D 1874 Une jolie formule

Solution proposée par Pierre Renfer

Soient M le centre du cercle ₂ et S le projeté de M sur la droite (AB).

Soient N le centre du cercle ₃ et T le projeté de N sur la droite (AB)

2 2 2 2 2

2 1 2 1 1 2

PS OM (OP MS) (R r ) (R 2r r ) 4r (R r r )           (1)

2 2 2 2 2

3 1 3 1 1 3

PT NT (OP NT) (R r ) (R 2r r ) 4r (R r r )           (2)

2 2 2 2 2

2 3 2 3 2 3

ST MN (MS NT) (r   r ) (r r ) 4r r (3)

2 2 2 2

ST (SP PT) PS   PT  2 SP PT Donc : (ST² PS² PT ) 4 PS PT^{2 2}   ² ²

(2)

Et : ST⁴PS⁴ PT⁴ 2 PS PT² ² 2 ST PS² ² 2 ST PT² ² 0

En remplaçant dans cette dernière égalité PS , PT , ST² ² ² par leurs valeurs calculées en (1), (2), (3), on obtient la jolie formule :

1 2 2 3 3 1 2 1 2 3

(r r    r r r r ) 4 R r r r    