A10402. Jolie addition
En écrivant trois nombres entiers et leur somme (qui a 4 chiffres), j’ai utilisé une fois et une seule chacun des chiffres de 0 à 9. Quelle peut être cette addition ?
Solution
La somme des 10 chiffres est 45, multiple de 9 ; faisant la “preuve par neuf”
de l’addition, la somme des chiffres a le même reste modulo 9 pour le résultat de l’addition d’une part, pour les 3 entiers additionnés d’autre part ; ce sont des multiples de 9.
Le plus grand des 3 entiers ne peut avoir 4 chiffres : son premier chiffre serait celui de la somme. Trois entiers de 2 chiffres ne peuvent donner une somme à 4 chiffres. Trois entiers de 1, 2 et 3 chiffres ne permettent pas d’atteindre un total 1206 et au-delà.
Ainsi le résultat, multiple de 9 avec 4 chiffres distincts, peut être 1026, 1035, 1053 ou 1062.
De fait, on a les solutions
4 + 35 + 987 = 1026 = 3 + 45 + 978, 2 + 46 + 987 = 1035,
2 + 64 + 987 = 1053, 3 + 74 + 985 = 1062
et celles qui s’en déduisent en échangeant, dans les entiers additionnés, les chiffres des unités d’une part (6 permutations), les chiffres des dizaines d’autre part (2 permutations). Soit en tout 60 solutions.
