On trace deux droites perpendiculaires qui passent par l’orthocentre d’un triangle ABC sans être parallèles à l’un quelconque des côtés du triangle. Elles déterminent trois segments sur les droites portant les côtés du triangle. Démontrer que les milieux de ces segments sont sur une même droite.
Les deux droites perpendiculaires forment donc, avec chacun des cotés du
triangle ABC, un triangle rectangle dont le centre du cercle circonscrit est le milieu du segment déterminé sur chaque coté.
Ce cercle passe par le symétrique (HA, HB, HC) de l’orthocentre H par rapport à ce coté (respectivement BC, CA, AB).
On a donc une droite passant par l’orthocentre, interceptant les cotés BC, CA, AB en trois points A’, B’, C’, et il faut démontrer que les centres des cercles
circonscrits à HA’HA , HB’HB , HC’HC sont alignés. Pour cela, montrons que ces cercles ont, outre H, un second point commun.
Soit I le point d’intersection des cercles HB’HB et HC’HC, on a les égalités angulaires HB’HB=2HB’A, HB’HB+HIHB =π, HC’HC=2HC’B, HC’HC+HIHC=π.
Donc HBIHC=2(HB’A+HC’B). De même, si J et K sont les seconds points d’intersection de HC’HC et HA’HA , HA’HA et HB’HB, HCJHA=2(HC’B+HA’C), HAKHB=2(HA’C+HB’A) et comme HC’B+HA’C+HB’A=0 (mod π),
HBIHC +HCJHA +HAKHB =0 (mod 2π). Il en résulte que les points I, J et K sont confondus ; les trois cercles appartiennent donc à un même faisceau et leurs centres sont alignés.
