Courants r´ esidus et formule de King

DOI: 10.1007/s11512-005-0003-4

c 2006 by Institut Mittag-Leffler. All rights reserved

Courants r´ esidus et formule de King

Michel M´eo

0. Introduction

SoitZun sous-ensemble analytique de codimensionqdans une vari´et´e complexe X de dimension pure. LorsqueZ est le lieu des z´eros d’une section holomorphes d’un fibr´e vectoriel holomorphe hermitienE au-dessus deX, la formule de King

j

m_j[Z_j] = (dd^clog|s|)^q−1_X\Z(dd^clog|s|)^q exprime le courant d’int´egration sur le cycle

jm_jZ_jdeXde codimensionqassoci´e

`

as, comme r´esidu de la forme diff´erentielleT=d^c(log|s|(dd^clog|s|)^q−1). Ce r´esultat est ´enonc´e dans [15] sous l’hypoth`ese queZ est de dimension pure et dans [12] sous l’hypoth`ese que le fibr´e et la m´etrique sont triviaux.

On ´etend ici cette formule au cas o`u Z est quelconque, en rempla¸cant log|s| par une fonction <sup>1</sup><sub>2</sub>logρ quasi-plurisousharmonique dans X, de classe C<sup>∞</sup> dans X\Z, ayant Z pour ensemble de pˆoles et construite `a l’aide d’une partition C^∞ de l’unit´e et de g´en´erateurs locaux du faisceau d’id´eaux d´efinissantZ. On donne deux d´emonstrations, l’une utilisant la th´eorie des op´erateurs de Monge–Amp`ere, l’autre un ´eclatement par rapport `a Z.

On en d´eduit les formules d’approximation reprenant celles de [18]

j

m_j[Z_j] = lim

λ!0+

λ qρ^λ−q

1 2dd^cρ

_q

= lim

λ!0+λρ^λ−q−11

2dρ∧d^cρ∧ 1

2dd^cρ _q−1

.

La distribution ρ^λ d´epend m´eromorphiquement de λ∈C et on obtient l’existence de distributions δetγ d´efinies dansX `a support dansZ telles que

j

m_j[Z_j] =γ i

2∂∂ρ¯ _q

/q! =δi

2∂ρ∧∂ρ¯ ∧i 2∂∂ρ¯

_q−1

/(q−1)!.

On donne deux d´emonstrations, l’une partant de la relation logρ=(∂(ρ^λ)/∂λ)|λ=0, l’autre consistant `a d´emontrer d’abord les formules

j

m_j[Z_j] = lim

ε!0⁺(2ε²)^−q1_{ρ<ε2}(dd^cρ)^q

= lim

ε!0⁺

q+1

2^qε^2q+21_{ρ<ε2}dρ∧d^cρ∧(dd^cρ)^q−1.

Revenant au cas o`u Z est le lieu des z´eros de la section s, on explicite une forme diff´erentielleψ`a coefficients de classeC^∞ dansX\Z,L¹_loc dansX telle que dansX au sens des courants, on ait

j

m_j[Z_j] =c_q(Θ_E)−c_q(Θ_E/Cs)+dd^cψ,

en d´esignant parc_q(Θ_E) laq^`emeforme de Chern de la forme de courbure Θ_E deE.

Cette g´en´eralisation de la formule de Poincar´e–Lelong figure dans le cas o`uEest de rangqetstransverse `a la section nulle deEdans [5] et avec de plus l’op´erateurdau lieu dedd^c dans [14]. On raisonne ici `a partir de la formule de King, en appliquant les calculs de Bott–Chern de formes de transgression pour les classes de Chern intervenant dans la suite exacte 0!Cs!E!E/Cs!0 dansX\Z.

1. Formule de King g´en´eralis´ee On commence par rappeler la d´efinition du r´esidu.

Soit X une vari´et´e complexe de dimension pure n, Z⊂X un sous-ensemble analytique de dimensionp=n−q. PourT une forme diff´erentielle de degr´e 2q−1 de classeC^∞ dansX\Z avecT et dT `a coefficientsL<sup>1</sup><sub>loc</sub> dansX, on noteR=dT−dT o`u on d´esigne par le courant dans X associ´e `a chaque forme diff´erentielle `a coefficientsL¹_loc dans X. Le courantR est localement plat au sens de Federer de dimension 2p`a support dansZ, donc ´egal lorsqu’il est ferm´e `a

jm_j[Z_j] o`u lesZ_j sont les composantes analytiques irr´eductibles deZ de dimension exactementpet lesm_j des nombres complexes.

SoitI ⊂OX un sous-faisceau coh´erent d’id´eaux tel que supp (OX/I)=Z.

On construit maintenant en suivant [11] une fonctionρ:X!R⁺ de classeC^∞ telle queρ⁻¹(0)=Z et logρest quasi-plurisousharmonique dansX.

Soit (U_α)_α un recouvrement ouvert localement fini de X et pour toutα, f_α: U_α!C^Nα une application holomorphe v´erifiant la propri´et´e: pour tout x∈U_α, les germes enxdes composantes def_α engendrent l’id´ealIxet doncf_α⁻¹(0)=Z∩U_α.

Soit H_α(x) une matrice N_α×N_α hermitienne d´efinie positive d´ependant de fa¸conC^∞dex∈U_α. On noteψ_α=^tf_αH_αf¯_αqui est une fonctionC^∞dansU_αtoujours

≥0 avecψ⁻_α¹(0)=Z∩U_α.

Avec D_αf_α=∂f_α+H^¬_α⁻¹∂H^¬_αf_α et Θ_α=H^¬_α⁻¹∂∂¯ H^¬_α−H^¬_α⁻¹∂¯H^¬_α∧H^¬_α⁻¹∂H^¬_α qui v´erifie^tΘ_αH_α=−H_α^ªΘ_α, on a dansU_α\Z l’´egalit´e

ψ_αi∂∂¯logψ_α+i^t(Θ_αf_α)H_αf¯_α=i^t(D_αf_α)∧H_αD^¯_αf_α

−ψ⁻_α¹i^t(D_αf_α)H_αf¯_α∧^tf_αH_αD^¯_αf_α. Pour x∈U_α\Z, la forme hermitienne sur T_xX associ´ee `a cette (1,1)-forme r´eelle vaut

t(D_αf_α(ξ))H_αD_αf_α(ξ)−ψ_α⁻¹|^t(D_αf_α(ξ))H_αf¯_α|²

en ξ∈T_xX et est positive par l’in´egalit´e de Cauchy–Schwarz. Ainsiψ_αi∂∂¯logψ_α+ i^t(Θ_αf_α)H_αf¯_α≥0 dansU_α\Z.

Ecrivons H_α=^tP_αP^«_α avec P_α une matrice inversible C^∞ dans U_α. Alors i^t(Θ_αf_α)H_αf¯_α=i^tg_α^tΘ_α¯g_αavecg_α=P_αf_αetΘ_α=P_αΘ_αP_α⁻¹qui v´erifie^tΘ_α=−^ªΘ_α. Soit (z1, ..., z_n) des coordonn´ees holomorphes dans un voisinage ouvert de x∈U_α. Ecrivons le coefficient en position (i, j) de la matrice Θ_α sous la forme Θ_α,ij=

k,lc_α,ijkldz_k∧d¯z_lavec doncc_α,jikl=¯c_α,ijlk. La forme hermitienne surT_xX associ´ee `ai^t(Θ_αf_α)H_αf¯_αest

(i,l),(j,k)c_α,jiklg_α,iξ¯_lg_α,jξ¯_k qui est domin´ee au voisi- nage dexpar|g_α|²

k|ξ_k|²o`u on ´ecritξ=

kξ_k∂/∂z_k. Il existe donc une constante C telle quei^t(Θ_αf_α)H_αf¯_α≤C|f_α|²i

kdz_k∧d¯z_k au voisinage dex.

Soit (λ_α)_α une partition C^∞ de l’unit´e subordonn´ee `a (U_α)_α. On pose ρ=

αλ²_αψ_α qui est une fonction C^∞ dans X toujours≥0 avec ρ⁻¹(0)=Z. Pour x∈ U_α∩U_β, on a|f_α|=O(|f_β|) au voisinage dexet doncψ_α=O(ρ) au voisinage de x.

Pourε>0 fix´e, on a dansX\Z i∂∂¯log(ρ+ε) =i∂∂ρ¯

ρ+ε−i∂ρ∧∂ρ¯ (ρ+ε)²

= ρ

ρ+ε α

ψ_α

ρ (i∂∂(λ¯ ²_α)−4i∂λ_α∧∂λ¯ _α)+

α

λ_αψ_α

ρ i∂∂¯logψ_α

+ 1

(ρ+ε)²

(ρ+ε)

α

ψ⁻_α¹iθ_α∧θ¯_α−i

α

λ_αθ_α

∧

α

λ_αθ_α

avec θ_α=2(∂λ_α)ψ_α+λ_α∂ψ_α. La forme hermitienne associ´ee `a i(

αλ_αθ_α)∧ (

αλ_αθ_α) est|

αλ_αθ_α(ξ)|²≤ρ

αψ_α⁻¹|θ_α(ξ)|²par l’in´egalit´e de Cauchy–Schwarz et donc le 3^`eme terme est≥0. DansX\Z, on a ainsi

i∂∂¯log(ρ+ε)≥ ρ ρ+ε

α

ψ_α

ρ (i∂∂(λ¯ ²_α)−4i∂λ_α∧∂λ¯ _α−iλ_αψ⁻_α^1t(Θ_αf_α)H_αf¯_α).

Donc pour tout x∈X, il existe une constanteC et un voisinage ouvert de x dansX dans lequel pour toutε>0, on ai∂∂¯log(ρ+ε)≥−C(ρ/(ρ+ε))i

kdz_k∧d¯z_k. Cela entraˆıne quei∂∂¯logρ≥−Ci

kdz_k∧d¯z_kdans ce voisinage ouvert puis `a l’aide d’une partitionC^∞ de l’unit´e quei∂∂¯logρest quasi-plurisousharmonique dansX.

On a alors la g´en´eralisation suivante de la formule de King.

Proposition 1.1. La forme diff´erentielle S=2^−q(logρ)(dd^clogρ)^q−1 qui est C^∞ dansX\Z est `a coefficients localement int´egrables dans X et siT=d<sup>c</sup>S=d<sup>c</sup>ρ∧ (dd<sup>c</sup>ρ)<sup>q−1</sup>/(2ρ)<sup>q</sup>, alors dT est `a coefficients localement int´egrables dans X,dT est ferm´e dansX et le courant r´esidudd^cS−dT= ¹₂dd^clogρ_q

−1_X\Z ¹₂dd^clogρ_q est

´egal `a

jm_j[Z_j]o`u(Z_j)_j d´esigne la famille des composantes analytiques irr´educ- tibles deZ de dimension exactement petm_j∈N^∗ la multiplicit´e g´en´erique de I le long deZ_j.

D´emonstration.On utilise la th´eorie de l’intersection des op´erateurs de Monge–

Amp`ere dans le cas de fonctions plurisousharmoniques non born´ees de Demailly, Fornæss–Sibony (cf. [12], [13]), pr´ecis´ement le cas particulier suivant.

SoitQun courant positif ferm´e de bidimension (k, k) dans un ouvertU deCⁿ, uune fonction plurisousharmonique dansU, de classeC^∞ dansU\Ao`uA est un sous-ensemble analytique deU avec dimA<k. Alors la mesureuQ∧β^kest de masse finie dansU\Aetdd^c(uQ) est un courant positif ferm´ e dansU.

Pour tout point x∈X, il existe un voisinage ouvert U dans X de x et une constante C >0 tels que u=¹₂logρ+C|z|² est plurisousharmonique dans U. Alors S=(u−C|z|²)(dd^cu−Cdd^c|z|²)^q−1etdT=(dd^cu−Cdd^c|z|²)^qsont `a coefficientsL¹_loc dans U. Ensuite dd^cS−dT co¨ıncide dans U avec dd^c((u(dd^cu)^q−1)˜)−((dd^cu)^q)˜

puisque pour 0≤k≤q−1, ((dd^cu)^k)˜ est ferm´e dans U et pour 0≤k≤q−2, dd^c((u(dd^cu)^k)˜)=((dd^cu)^k+1)˜ car 1_Zdd^c((u(dd^cu)^k)˜)=0 d’apr`es le th´eor`eme de Skoda–El Mir.

Reconnaissons maintenant

1_Zdd^c((u(dd^cu)^q−1)˜) =dd^c((u(dd^cu)^q−1)˜)−((dd^cu)^q)˜.

Avec (Ci)_i les composantes analytiques irr´eductibles de Z, on utilise que 1_Z= lim

j!+∞1_{C1∪...∪Cj}= lim

j!+∞

1≤k≤j

(−1)^k−1

1≤i1<...<ik≤j

1_Ci

1∩...∩C_ik.

Le th´eor`eme de Skoda–El Mir montre que le courant 1<sub>Ci</sub>dd<sup>c</sup>((u(dd<sup>c</sup>u)<sup>q−1</sup>)˜) est ferm´e d’ordre 0 `a support dans Ci et il est donc nul si dimCi<p, ´egal `a m_i[Ci] si dimCi=pavec m_i=inf{ν(dd^c((u(dd^cu)^q−1)˜), z):z∈Ci}≥1. Par ailleurs pour k≥2,

dim(Ci1∩...∩Cik)<pdonc1_Ci

1∩...∩C_ikdd^c((u(dd^cu)^q−1)˜)=0 et ensuite 1_Zdd^c((u(dd^cu)^q−1)˜) =

j

m_j[Z_j].

Pr´ecisons l’interpr´etation dem_jcomme multiplicit´e. Pourx∈Z_j∩U_αg´en´erique, m_j est le nombre de Lelong ν((dd^clog|f_α|)^q, x) qui dans le cas N_α=q n’est autre que la multiplicit´e de Stoll µ_q(f_α, x). Supposant U_α⊂Cⁿ et x=0, on peut aussi consid´erer la trace sur un sous-espace vectoriel de dimension q. Quitte `a choisir ce sous-espace, disons C^q, en dehors d’un sous-ensemble n´egligeable de la Grass- mannienneG_q−1,n−1 on am_j=ν((dd^clog|f_α|Uα∩C^q|)^q,0). Le nombrem_j apparaˆıt comme la multiplicit´e de l’id´eal de Oq engendr´e par les germes des f_α,l|Uα∩C^q

en 0.

Pour voir queT est `a coefficientsL<sup>1</sup><sub>loc</sub> dansX, on utilise l’´eclatementπ:M! X de X par rapport `a I. On a M qui est muni naturellement d’un fibr´e en droites L. Au-dessus de π⁻¹(U_α), f_α^¤π est une section holomorphe deL|π⁻¹(Uα)⊂ π⁻¹(U_α)×C^Nα, de norme au carr´e ´egale `aψ_α^¤π pour la m´etrique hermitienne in- duite par H_α. Comme sur π⁻¹(U_α∩U_β), f_α^¤π et f_β^¤π d´efinissent le diviseur H= π⁻¹(Z), il existe une fonction holomorpheh0,αβpartout non nulle dansπ⁻¹(U_α∩U_β) telle que f_β^¤π=(f_α^¤π)h_0,αβ en tout point de π⁻¹(U_α∩U_β). On en d´eduit que ψ_β^¤π=(ψ_α^¤π)h_αβ en tout point de π⁻¹(U_α∩U_β) avec h_αβ une fonction de classe C^∞ strictement positive en tout point deπ⁻¹(U_α∩U_β). Pour tout pointx∈X et α tel que U_αx, il existe donc un voisinage ouvertV dexdansU_αtel que

(ρ^¤π)|_π⁻¹(V)= (ψ_α^¤π)|_π⁻¹(V)h

avechune fonction de classeC^∞strictement positive en tout point deπ⁻¹(V). On a ensuite

T|V = 2^−qd^clogρ∧(dd^clogρ)^q−1|V

= (π|π⁻¹(V))_∗

d^c

log|f_α^¤π| |π⁻¹(V)+1 2logh

∧ 1

2dd^clogh−ξ_α|π⁻¹(V)

_q−1

avec ξ_α la 1<sup>`ere</sup> forme de Chern de L|π<sup>−1</sup>(Uα) pour la m´etrique hermitienne induite parH<sub>α</sub>, de sorte queT|V est l’image directe par l’´eclatementπ|<sub>π</sub><sup>−1</sup>(V)d’une forme diff´erentielle `a coefficientsL¹_loc dansπ⁻¹(V) et donc est `a coefficientsL¹_loc dansV. Remarquons que la d´emonstration pr´ec´edente permet aussi de voir que T1= 2^−qd^clogρ1∧(dd^clogρ1)^q−1 avec ρ1=

αλ_αψ_α qui est `a coefficients L¹_loc dans X, de mˆeme quedT1et quedT1est ferm´e dansX, de sorte que le courant r´esidu deT1

est dT1−dT1=

jm_j[Z_j].

2. Cas du lieu des z´eros d’une section d’un fibr´e vectoriel

Consid´erons le cas particulier o`u E!X est un fibr´e vectoriel holomorphe de rangN,s∈H⁰(X, E) une section holomorphe non nulle etI l’image du morphisme O(E^∗)!OX de faisceaux deOX-modules induit pars.

Munissons E d’une m´etrique hermitienne C^∞ et supposons que pour chaque α, H_α en est la matrice dans un rep`ere holomorphe (e_α,l)_l de E au-dessus de U_α. Ecrivant s|Uα=

lf_α,le_α,l on a alors |s|²|Uα=ψ_α de sorte que ρ=|s|²

αλ²_α, ce qui redonne le fait que log|s| est une fonction quasi-plurisousharmonique dans X et on a en fait i∂∂¯log|s|²+{iΘ_E(s), s}/|s|²≥0 avec {iΘ_E(s), s}={s, iΘ_E(s)} o`u Θ_E∈C1^∞,1(X, E⊗E^∗) est la forme de courbure de la connexion de Chern surEpour cette m´etrique et{ ·,· }est le crochet d´eduit de cette m´etrique.

On va donner une d´emonstration g´eom´etrique de la Proposition 1.1 `a l’aide d’un

´eclatement. King dans [15] utilise aussi un ´eclatement pour obtenir les int´egrabilit´es locales, mais conclut `a l’aide du th´eor`eme de structure de Federer, sous l’hypoth`ese queZ est de dimension pure.

On se ram`ene `a la formule de Poincar´e–Lelong en ´eclatant donc X le long de Z=s⁻¹(0). Soit π0:P(E)!X le fibr´e des droites de E, M0=

a∈P(E): a s(π0(a))

. On consid`ere M la fermeture sch´ematique de M0\π<sub>0</sub><sup>−1</sup>(Z) dans M0 et π=π0|M. L’image r´eciproqueH deZ dansM y est une hypersurface en dehors de laquelleπest un biholomorphisme `a valeurs dansX\Z. SoitL_E le fibr´e en droites tautologique sur P(E) muni de la m´etrique hermitienne induite par celle de E,L sa restriction `a M et ξla premi`ere forme de Chern deL.

Soit (H_i)_iles composantes analytiques irr´eductibles deH. Pour chaquei,π(H_i) est un sous-ensemble analytique irr´eductible deZ et (π|Hi)_∗((−ξ)|^q−_Hi¹) est un cou- rant ferm´e d’ordre 0 de bidimension (p, p) dansπ(H_i). Si dimπ(H_i)<p, il est nul et si dimπ(H_i)=p,π(H_i) est une composante analytique irr´eductibleZ_ji deZ et on a (π|Hi)_∗((−ξ)|^q−_Hi¹)=n_i[Z_ji] pour un certainn_iet alors

n_i[Z_ji] =π_∗([H_i]∧(−ξ)^q−1).

H est l’ensemble des z´eros de la sectionπ^∗sde Linduite pars. Pour appliquer la formule de Poincar´e–Lelong, il faut raisonner dansMreg, mais il est possible qu’une H_i soit contenue dans M_sing. On consid`ere doncν: M!M une normalisation de M et H l’hypersurface ν⁻¹H qui est l’ensemble des z´eros de la sectionν^∗π^∗s de ν^∗L. Soit (K_l)_l les composantes analytiques irr´eductibles deH. L’application de la formule de Poincar´e–Lelong donne

l

m_l[K_l] =dd^clog|ν^∗π^∗s|+ν^∗ξ

pour certaines multiplicit´esm_l. Par ailleurs ν(K_l) est une composante analytique irr´eductible H_il et ν_∗[K_l]=m_l[H_il] avec m_l le degr´e de ν:K_l!H_il. On obtient

lm_lm_l[H_il]=dd^clog|π^∗s|+ξpuis

l

m_lm_ln_il[Z_jil] =dd^cπ_∗(log|π^∗s|(−ξ)^q−1)−π_∗((−ξ)^q).

Or l’image directe par π de log|π^∗s|(−ξ)^q−1 (respectivement de (−ξ)^q) est une forme diff´erentielle `a coefficients localement int´egrables dansX, de classeC<sup>∞</sup>dans X\Z o`u elle est ´egale `a log|s|(dd<sup>c</sup>log|s|)<sup>q−1</sup>(respectivement `a (dd^clog|s|)^q).

On peut ´eviter d’utiliserM qui est ´eventuellement singuli`ere. En effet on peut raisonner localement et comme M\H X\Z est lisse et queH ne contient aucune composante analytique irr´eductible deM, il existe par le th´eor`eme d’Hironaka une application holomorphe propre λ: X!M v´erifiant: X est lisse etλ|_X\λ −1(H):X\ λ⁻¹(H)!M\Hest un biholomorphisme. On utilise alorsµ=π^¤λetL=λ^∗Lau lieu deπet L.

Exprimons maintenant le terme−(dd^clog|s|)^q|_X\Z en suivant la m´ethode clas- sique de Bott–Chern (cf. [7], [8]) qu’on va rappeler.

Soit 0!L!E!Q!0 une suite exacte de fibr´es vectoriels holomorphes sur X avec rgL=1,rgE=N. Une m´etrique hermitienne C^∞ sur E induit des m´etriques surLet Q. On note Θ_E,Θ_L et Θ_Q les (1,1)-formes de courbure des connexions de Chern respectivement surE, Let Q.

En d´esignant parc(Θ_E)=

kc_k(Θ_E) la forme de Chern totale associ´ee `a Θ<sub>E</sub>, il s’agit d’expliciter une solution ϕ de classe C<sup>∞</sup> dans X de l’´equation c(Θ<sub>E</sub>)− c(Θ<sub>L</sub>)c(Θ<sub>Q</sub>)=−dd<sup>c</sup>ϕo`u on n’a pas fait figurer ici le signe∧. Pour d´efinirϕon uti- lise les notations suivantes: Hom(E, E)=E⊗E^∗ s’injecte dans l’alg`ebre ext´erieure (E⊕E^∗) et la forme de Chern totale de Θ_E s’´ecrit alorsc(Θ_E)=(I+(i/2π)Θ_E)^N en identifiant _N

E⊗_N

E^∗ avec C `a l’aide de I_E^N de sorte que c_k(Θ_E)=

N k

I_E^N−k((i/2π)Θ_E)^k.

Avecvun rep`ere holomorphe local deL,v<sup>∗</sup>∈E<sup>∗</sup>l’adjoint, on noteσ=vv<sup>∗</sup>/|v|<sup>2</sup> etα=DvDv<sup>∗</sup>/|v|<sup>2</sup>o`uDd´esigne la connexion de Chern surE. On peut alors prendre

ϕ=N 2

1≤j≤N−1

1 jσ

I_E+ i

2πΘ_{E j}

−I_E^j

I_E+ i

2πΘ_E+ i 2πα

_N−j−1

. (2.1)

On a aussi c(Θ_Q)=c(Θ_L)⁻¹c(Θ_E)+dd^c(c(Θ_L)⁻¹ϕ) et comme c(Θ_L)=1+

c1(Θ_L), on a

−(−c1(Θ_L))^q=c_q(Θ_E)−c_q(Θ_Q)+

1≤k≤q−1

(−c1(Θ_L))^k∧c_q−k(Θ_E)+dd^cψ0

o`u on note ψ₀=

0≤k≤q−1(−c₁(Θ_L))^k∧ϕ_q−k−1 avecϕ_q−k−1 la composante de bi- degr´e (q−k−1,q−k−1) deϕ.

Appliquons ceci `a la suite exacte 0!L!π^∗E!π^∗E/L!0 au-dessus de M et prenons les images directes parπ. Commec1(Θ_L)=−dd^clog|π^∗s|dansM\H, on a

−(dd^clog|s|)^q|_X\Z=c_q(Θ_E)−c_q(Θ_E/Cs) (2.2)

+

1≤k≤q−1

(dd^clog|s|)^k∧c_q−k(Θ_E)+dd^cψ

o`uψ=

0≤k≤q−1(dd^clog|s|)^k∧ϕ_q−k−1etϕest donn´ee par (2.1) avecσ=ss^∗/|s|²et α=DsDs^∗/|s|². Etant l’image directe par l’´eclatementπ d’une forme diff´erentielle C^∞ dansM,ψde mˆeme quec_q(Θ_E/Cs) est `a coefficientsL¹_loc dansX.

Ensuite, comme dansX\Z (dd^clog|s|)^k=dd^c

− 1

2(k−1)

dd^c|s|² 2|s|²

_k−1

=dd^c(log|s|(dd^clog|s|)^k−1) pourk≥2, on a

−(dd^clog|s|)^q|_X\Z=c_q(Θ_E)−c_q(Θ_E/Cs)+dd^cψ avec

ψ=

1≤k≤q−1

log|s|(dd^clog|s|)^k−1∧c_q−k(Θ_E)+ψ.

Le r´esultat suivant g´en´eralise alors la formule de Poincar´e–Lelong.

Proposition 2.3.Les formes diff´erentiellesc_q(Θ_E/Cs)etψqui sontC^∞dans X\Z sont `a coefficients L¹_loc dansX et on a dans X l’´egalit´e entre courants

j

m_j[Z_j] =c_q(Θ_E)−c_q(Θ_E/Cs)+dd^cψ+(dd^clog|s|)^q.

En particulier la classe de cohomologie de

jm_jZ_jdansXestc_q(E)−{c_q(Θ_E/Cs)} o`u {c_q(Θ_E/Cs)}d´esigne la classe de cohomologie dans X du courant (c_q(Θ_E/Cs))˜.

Le cas d’une vari´et´e projective X donne un exemple o`u cette Proposition s’applique. Supposons alorsX munie d’un fibr´e en droitesLample. Pour Z sous- ensemble analytique deX, il existek∈Net des sectionss1, ..., s_N∈H⁰(X, L^⊗k) tels queZ=s⁻₁¹(0)∩...∩s⁻_N¹(0). On prend alorsE=(L^⊗k)^⊕N et s=(s1, ..., s_N).

3. Approximations faibles du courant d’int´egration On exprime d’abord le courant d’int´egration

jm_j[Z_j] `a l’aide d’int´egrales r´esiduelles. Soitψune forme diff´erentielle de classeC<sup>∞</sup>de bidegr´e (p, p) `a support compact dansX.

Proposition 3.1.(i)En prenant pourε>0des valeurs r´eguli`eres deρ^1/2, on a

j

m_j[Z_j], ψ

= lim

ε!0(2ε²)^−q

ρ=ε²

d^cρ∧(dd^cρ)^q−1∧ψ.

(ii) On a les ´egalit´es suivantes

j

m_j[Z_j], ψ

= lim

ε!0

q+1 2^qε^2q+2

ρ<ε²

dρ∧d^cρ∧(dd^cρ)^q−1∧ψ

= lim

ε!0(2ε²)^−q

ρ<ε²

(dd^cρ)^q∧ψ.

D´emonstration. (i) La Proposition 1.1 permet d’´ecrire, avecSetT qui y sont d´efinies,

j

m_j[Z_j], ψ

= lim

ε!0

ρ>ε²

(S∧dd^cψ−dd^cS∧ψ) = lim

ε!0

ρ=ε²

(T∧ψ−S∧d^cψ) en utilisant la formule S∧dd^cψ−dd^cS∧ψ=d(S∧d^cψ−d^cS∧ψ) puisque p+q=net la formule de Stokes.

Comme dS est `a coefficients L¹_loc dans X, lim_ε!0

ρ=ε²S∧d^cψ=

−lim_ε!0

ρ>ε²d(S∧d^cψ)=dS−dS, d ^cψ=0 car dS−dS=0 puisque c’est un cou- rant de dimension 2p+1 localement plat dansX `a support dansZ.

(ii) Appelant L(ε) =

ρ<ε²

dρ∧d^cρ∧(dd^cρ)^q−1∧ψ= _ε

0

(ρ^1/2)_∗(d^cρ∧(dd^cρ)^q−1∧ψ)d(t²) on obtient l’´egalit´e lim_ε!02^−q−1ε^−2q−1L(ε)=

jm_j[Z_j], ψd’apr`es (i), qui entraˆıne

jm_j[Z_j], ψ=lim_ε!0(q+1)L(ε)/(2^qε^2q+2).

Pour la derni`ere ´egalit´e, en appliquant la formule de Stokes, la quantit´e Φ(ε) =

ρ=ε²

d^cρ∧(dd^cρ)^q−1∧ψ−

ρ<ε²

(dd^cρ)^q∧ψ=−

ρ<ε²

d^cρ∧(dd^cρ)^q−1∧dψ

=

ρ<ε²

dρ∧(dd^cρ)^q−1∧d^cψ= _ε

0 ρ=t²

(dd^cρ)^q−1∧d^cψ

d(t²)

v´erifie siq≥2 : Φ(ε)

2ε =

ρ<ε²

(dd^cρ)^q−1∧dd^cψ=

ρ=ε²

d^cρ∧(dd^cρ)^q−2∧dd^cψ

=ε^2q−2

ρ=ε²

d^clogρ∧(dd^clogρ)^q−2∧dd^cψ

=−ε^2q−2

ρ>ε²

(dd^clogρ)^q−1∧dd^cψ.

La forme diff´erentielle (dd^clogρ)^q−1est `a coefficientsL¹_locdansXet ((dd^clogρ)^q−1)˜

est ferm´e dansX. Donc

X\Z(dd^clogρ)^q−1∧dd^cψ=0 et Φ(ε)=o(ε^2q−1) puis Φ(ε)=

o(ε^2q), d’o`u la formule annonc´ee en utilisant (i).

Le r´esultat suivant fournit des r´egularisations de

jm_j[Z_j].

Proposition 3.2. On a les ´egalit´es suivantes

j

m_j[Z_j] = lim

ε!0

ε(q+1)dρ∧d^cρ∧(dd^cρ)^q−1 2^q(ρ+ε)^q+2 = lim

ε!0

ε(dd^cρ)^q 2^q(ρ+ε)^q+1 (i)

j

m_j[Z_j] = lim

ε!0

ε(q+1)(dd^clog(ρ+ε))^q 2^q(ρ+ε) . (ii)

D´emonstration. (i) Soit η tel que suppψ⊂{x∈X:ρ(x)<η²} et M(ε)=

(2ε²)^−q

ρ=ε²d^cρ∧(dd^cρ)^q−1∧ψ. On a ε

X

dρ∧d^cρ∧(dd^cρ)^q−1∧ψ (ρ+ε)^q+2 =ε

]0,η[

(ρ^1/2)_∗

dρ∧d^cρ∧(dd^cρ)^q−1∧ψ (ρ+ε)^q+2

=ε _η

0

d(t²) (t²+ε)^q+2

ρ=t²

d^cρ∧(dd^cρ)^q−1∧ψ

=ε2^q+1 _η

0

t^2q+1

(t²+ε)^q+2M(t)dt.

Appelons M(0)=lim_ε!0M(ε)=

jm_j[Z_j], ψ d’apr`es la Proposition 3.1. Pour δ >0, il existeη tel que pour 0<ε<η, on ait|M(ε)−M(0)|≤δ. On a donc

ε _η

0

t^2q+1

(t²+ε)^q+2M(t)dt−εM(0) _η

0

t^2q+1 (t²+ε)^q+2dt

≤εδ _η

0

t^2q+1 (t²+ε)^q+2dt.

Mais

ε _η

0

t^2q+1

(t²+ε)^q+2dt=1 2

_η²_/ε

0

u^q (u+1)^q+2du