I Formule des trois niveaux

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Seconde Autour du raisin : volet 1 _2013-2014

Différentes formules pour évaluer le volume des tonneaux

I Formule des trois niveaux

Traditionnellement, on récoltait le raisin dans des grands baquets de bois ap- pelés « comportes »ou « ballonges »dont la forme ressemble à un demi-tonneau de section elliptique. (voir photo ci-contre)

Tout aussi traditionnellement, pour évaluer des volumes comme celui d’un tonneau, d’un tas de sable, ... , on utilisait la formule dite des « trois niveaux ».

V =h

6(Ai+As+ 4×Am) où :

• hreprésente la hauteur ;

• Ai l’aire inférieure ;

• Asl’aire supérieure ;

• Aml’aire à mi-hauteur.

Pour évaluer le volume d’une ballonge à l’aide de la formule des trois niveaux, il faut savoir calculer l’aire de la surface délimitée par une ellipse.

Activité GeoGebra « cerclellipse.ggb »

Poure= 1, On obtient un disque de rayonbinscrit dans un carré. Compléter en fonction deb: Acarré =... Adisque =... et Adisque

Acarré

=...

Pour e > 1, On obtient un ellipse de petit axeb et de grand axe a inscrite dans un rectangle. Compléter en fonction deaet de b:

Arectangle=... Si l’on admet que le rapport des aires reste inchangé, calculerAellipse=...

Exemple 1 :

Appliquer la formule des trois niveaux à la ballonge représentée ci-contre.

Évaluer de même en litres le volume du tonneau à section elliptique schématisé ci-contre.

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II Volume d’un tonneau

Quelques formules historiques :

On se donne la hauteurLdu tonneau, le diamètre minimal d, dit diamètre du fond, et le diamètre maximal D, dit diamètre du bouge. La plupart des formules historiques reviennent à approximer le volume du tonneau par celui d’un cylindre de même hauteur, mais de diamètre intermé- diaire entre celui du fond et celui du bouge.

• Kepler−→V =πL

12(D²+Dd+d²) ;

• Oughtred−→V = πL

12(2D²+d²) ;

• Ministère de l’Intérieur en pluviôse de l’an VII−→

V = πL 4 (d+2

3(D−d))²;

• Dez−→V = πL 4 (d+5

8(D−d))²;

• Les douanes utilisent−→V = 0.625c³;

D’autres Formules plus récentes, obtenues grâce aux progrès des mathématiques :

• V = πL

60(8D²+ 3d²+ 4Dd) ;

• V = πD²L

8 1 +d/Dp

1−(d/D)² arccos(d/D)

!

II.1 Recherche

Effectuer des recherches sur les « inventeurs » des formules.

II.2 Comparaison des formules

Effectuer une comparaison des formules, par exemple en utilisant un tableur, à partir des données chiffrées sui- vantes :

d 6,06dm D 7,01dm L 8,05dm c 7,68dm

II.3 Travail en ligne

http://euler.ac-versailles.fr/baseeuler/lexique/notion.jsp?id=44

Écrire en quelques lignes la stratégie qui vous permet d’associer à un solide la bonne courbe.

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