Institut Fourier L3 M´ethodes Num´eriques
Universit´e Grenoble I 2`eme semestre 2006/2007
Feuille d’exercices n
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TP : trois m´ ethodes pour une ´ equation elliptique
Soit f ∈ C0([0,1]). On souhaite r´esoudre num´eriquement l’´equation
∆u= ∂∂x2u2 =f(x) x∈]0,1[
u(0) = u(1) = 0 (1)
Soit dxun petit pas de temps et n= 1/dx+ 1. On repr´esente les fonctionsu etf par des vecteurs de Rn
U = (u(0), u(dx), u(2dx), . . . , u(1)) et F = (f(0), f(dx), f(2dx), . . . , f(1)) . On discr´etise la d´eriv´ee seconde en posant
∂2u
∂x2(x)≈ u(x+ dx)−2u(x) +u(x−dx)
dx2 .
On propose trois m´ethodes pour r´esoudre ce probl`eme.
• R´esolution d’un syst`eme lin´eaire : on consid`ere (1) comme un syst`eme lin´eaire AU =F. Quelle est la matrice A ? Il suffit ensuite d’inverser A pour obtenir U.
• M´ethode de tir : on consid`ere (1) comme une ´equation diff´erentielle en x du type u00(x) =f(x). Soit uλ la solution de donn´ees initialesu(0) = 0 et u0(0) =λ. On cherche λ tel que uλ(1) = 0.
• M´ethode de relaxation : on part de la solution U = (0,0, . . . ,0). On r´ep`ete un tr`es grand nombre de fois le processus suivant :
- on tire au sort i entre 1 etn−1,
- on remplace la valeur de la i−`eme composante du vecteur U par la valeur telle que
∂2u
∂x2(idx) =f(idx).
Quels sont les avantages et inconv´enients de chaque m´ethode ? Programmer chacune des m´ethodes.
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