TP 3 - Introduction aux m´ ethodes de Runge–Kutta

IUT Littoral 2019 - 2020

Info 2A Ana. Num. – C++

TP 3 - Introduction aux m´ ethodes de Runge–Kutta

Le but de ce TP est d’approcher num´ eriquement les solutions d’´ equations diff´ erentielles de la forme

y

(t) = f(t, y(t)) et y(0) = y

(1)

o` u y : R

→ R

est une fonction inconnue, t est une variable parcourant R

, le vecteur y

de R

est la condition initiale et f : R

× R

→ R

est une fonction connue d´ ependant du probl` eme ` a ´ etudier.

Nous rappelons que pour tout intervalle I, une fonction g : I → R

est donn´ ee par

g(t) =



 g

(t)

.. . g

(t)



 pour t ∈ I,

o` u g

, . . . , g

sont des fonctions de I dans R . De plus si g est d´ erivable sur I alors nous avons

g

(t) =



 g

(t)

.. . g

(t)



 pour t ∈ I.

1. Premiers exemples

Exercice 1. On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle y

(t) = 2 y(t) v´ erifiant y(0) = 1.

a. Que valent d, y

et f pour cette ´ equation diff´ erentielle ?

b. Trouver math´ ematiquement une solution ` a cette ´ equation diff´ erentielle.

Exercice 2. On consid` ere un pendule oscillant de masse m accroch´ e en A ` a l’aide d’une tige de longueur `. On note θ l’angle que forme la tige du pendule avec la verticale.

A θ `

On suppose qu’` a l’instant t = 0, l’angle θ vaut π/8. L’angle θ(t) satisfait alors l’´ equation diff´ erentielle :

θ

(t) = − g

` sin(θ(t)) avec θ(0) = π

8 et θ

(0) = 0,

o` u g = 9.81 m.s

est la constante d’acc´ el´ eration gravitationnelle. On pose ω = θ

. L’´ equation pr´ ec´ edente devient alors :

( θ

(t) = ω(t)

ω

(t) = −

sin(θ(t)) avec

( θ(0) =

ω(0) = 0 (2)

a. Quels sont les inconnus de (2) ? En d´ eduire une interpr´ etation de y(t) vue en (1).

2

b. Quelles sont les valeurs de d, y

et f pour cette ´ equation diff´ erentielle ?

Contrairement ` a l’exercice pr´ ec´ edent, cette ´ equation diff´ erentielle n’admet pas de solu- tion explicite.

2. M´ ethodes de Runge–Kutta

Ces m´ ethodes ne donneront pas la fonction y solution de (1) mais donneront des valeurs approch´ ee de y(t) pour certaines valeurs de t. Commen¸cons par fix´ e un r´ e´ el strictement positif h suppos´ e petit. Pour tout n ∈ N , on pose t

= n × h. Nous souhaitons alors obtenir une valeur approch´ ee a

de y(t

) pour tout n ∈ N .

Exercice 3. Supposons n ∈ N

a. Calculer l’int´ egrale de y

(t) sur [t

, t

] en fonction de y(t

) et y(t

).

b. En d´ eduire une relation de r´ ecurrence entre y(t

) et y(t

).

Le calcul de y(t

) ` a partir de y(t

) revient donc ` a d´ eterminer une certaine int´ egrale.

Grˆ ace aux m´ ethodes de quadrature nous pouvons obtenir une valeur approch´ ee de cette int´ egrale.

Exercice 4. La m´ ethode de Runge-Kutta d’orde 1 repose sur l’appoximation suivante Z

a

g(t)dt ≈ (b − a) × g(a).

a. R´ e´ ecrire cette approximation dans le contexte qui nous int´ eresse.

b. En d´ eduire une formule de r´ ecurrence pour la suite (a

)

.

Exercice 5. La m´ ethode de Runge-Kutta d’orde 2 repose sur l’appoximation suivante Z

a

g(t)dt ≈ (b − a) × g

a + b 2

.

a. R´ e´ ecrire cette approximation dans le contexte qui nous int´ eresse.

Il nous reste a ´ etablir une valeur approch´ ee pour y(t

+ h/2).

b. Donner une valeur approch´ ee de y(t

+ h/2) en vous inspirant de la m´ ethode de Runge–Kutta d’ordre 1.

c. En d´ eduire une formule de r´ ecurrence pour la suite (a

)

. Exercice 6.

a. Appliquer la m´ ethode Runge–Kutta d’ordre 1 aux ´ equations diff´ erentielles de l’exercice 1 et 2.

b. De mˆ eme pour la m´ ethode de Runge–Kutta d’ordre 2.